
\begin{enumerate}
\item On peut écrire $x=q \times p_1 + 1$ donc le reste de la division euclidienne de $x$ par $p_1$ est égal à 1.

\item Dans un cas général, pour tout entier naturel $k\leqslant n$, on peut écrire : $x = q \times p_k + 1$ donc le reste de la division euclidienne de $x$ par $p_k$ est égal à 1.

\item On a supposé que tous les nombres premiers étaient $p_1$, ..., $p_n$ et aucun d'eux ne divise $x$... \'Etrange ! Cela nous dit donc que $x$ est lui-même un nombre premier (car il n'admet aucun diviseur premier autre que 1 et lui-même).

Mais $x>p_n$ par définition, ce qui contredit alors l'hypothèse que nous avons faite, à savoir que $\mathbb{P}$ était un ensemble fini.

Ainsi, cette hypothèse est fausse : donc $\mathbb{P}$ est infini.
\end{enumerate}
