
Démontrons la contraposée de l'implication, à savoir:
\[
\exists n\in\N, n\geqslant2, \ n\vert a \text{ et } n\vert b \Longrightarrow \pgcd{a}{b}\neq1.
\]
\begin{align*}
\exists n\in\N, n\geqslant2, \ n\vert a \text{ et } n\vert b
& \Longrightarrow \exists(p,q)\in\N^2, (p,q)\neq(1,1),\ \begin{cases}a=np\\b=nq\end{cases}\\
& \Longrightarrow \pgcd{a}{b} \geqslant n \geqslant 2\\
& \Longrightarrow \pgcd{a}{b} \neq 1.
\end{align*}
