
Posons $x_{n+1}=x$.

\begin{enumerate}
\item Par définition, on a :
\[
\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\qquad\text{donc}\qquad n\overline{x}=x_1+x_2+\cdots+x_n\;.
\]
On a alors :
\begin{align*}
m(x) & = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x}{n+1}\\
\Aboxed{m(x) & = \dfrac{n\overline{x}+x}{n+1}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
& m(x)=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x+n\overline{x}=(n+1)\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x=\overline{x}.
\end{aligned}$

\uline{Il faut ainsi choisir d'ajouter à la série une valeur égale à la moyenne de la série pour que la moyenne de la nouvelle série soit la même que la série initiale.}
\end{enumerate}
