
\begin{rem}
Rappelons avant tout les trois identités remarquables :
\[
\begin{array}{|r@{~=~}l|}
\hline
\text{Formes factorisées} & \text{Formes développées}\\
\hline
(a+b)^2 & a^2 + 2ab + b^2\\
(a-b)^2 & a^2 - 2ab + b^2\\
(a-b)(a+b) & a^2-b^2\\
\hline
\end{array}
\]

Quand on souhaite factoriser à l'aide d'une identité remarquable, il faut lire ces égalités de droite à gauche :

\[
\begin{array}{|r@{~=~}l|}
\hline
\text{Formes développées} & \text{Formes factorisées}\\
\hline
a^2 + 2ab + b^2 & (a+b)^2\\
a^2 - 2ab + b^2 & (a-b)^2\\
a^2-b^2 & (a-b)(a+b)\\
\hline
\end{array}
\]
\end{rem}

\begin{enumerate}
\item $A=x^2+2x+1$.

Nous voyons qu'il y a trois termes dans cette expression; or, seules les deux premières égalités développées comportent trois termes.

De plus, il n'y a que des signes \og $+$ \fg{} donc seule la première égalité ne peut convenir.

\medskip

Il faut donc que :
\[
x^2+2x+1=a^2+2ab+b^2\;,
\]
ce qui signifie que nous devons avoir :
\[
\begin{cases}
a^2=x^2\\
b^2=1
\end{cases}
\qquad
\text{donc}\qquad
\begin{cases}
a=x\\
b=1
\end{cases}
\text{ par exemple}.
\]
On vérifie que le double produit ($2ab$) est correct :
\[
2\times x \times 1 = 2x\;;
\]
donc :
\[
\boxed{x^2+2x+1)=(x+1)^2}
\]

\item $B=9x^2-12x+4$.

Nous voyons qu'il y a trois termes dans cette expression; or, seules les deux premières égalités développées comportent trois termes.

De plus, il y a un signe \og $-$ \fg{} donc seule la deuxième égalité ne peut convenir.

\medskip

Il faut donc que :
\[
9x^2-12x+4=a^2-2ab+b^2\;,
\]
ce qui signifie que nous devons avoir :
\[
\begin{cases}
a^2=9x^2\\
b^2=4
\end{cases}
\qquad
\text{donc}\qquad
\begin{cases}
a=3x\\
b=2
\end{cases}
\text{ par exemple}.
\]
On vérifie que le double produit ($2ab$) est correct :
\[
2\times 3x \times 2 = 12x\;;
\]
donc :
\[
\boxed{9x^2-12x+4)=(3x+2)^2}
\]

\item $C=x^2-9$.

Il n'y a que deux termes dans cette expression donc seule la troisième identité remarquable ne peut convenir. On a :
\[
x^2-9=x^2-3^2=a^2-b^2\text{ avec }a=x\text{ et }b=3
\]
donc :
\[
\boxed{x^2-9=(x-3)(x+3)}
\]

\item $D=4x^2+12x+9$.

On peut écrire :
\[
D = (2x)^2 + 2\times 6x + 3^2.
\]
Ainsi, $D$ est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$, d'où :
\[
\boxed{D=(2x+3)^2}
\]

\item $E=\dfrac{1}{4}x^2-5x+25$.

On peut écrire :
\[
E=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 - 2\times \dfrac{5}{2}x + 5^2.
\]
Ainsi, $E$ est de la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=\dfrac{1}{2}x$ et $b=5$, d'où :
\[
\boxed{E=\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)^2}
\]

\item $F=25-4x^2$.

On peut écrire :
\[
F=5^2 - (2x)^2
\]
donc $F$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=5$ et $b=2x$, d'où :
\[
\boxed{(5-2x)(5+2x)}
\]

\item $G=81x^2+126x+49$.

On peut écrire :
\[
G=(9x)^2+2\times63x+7^2=(9x)^2+2\times9x\times7+7^2
\]
donc $G$ est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=9x$ et $b=7$, d'où :
\[
\boxed{G=(9x+7)^2}
\]

\item $H=121x^2-64$.

On peut écrire :
\[
H=(11x)^2-8^2
\]
donc $H$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=11x$ et $b=8$, d'où :
\[
\boxed{H=(11x-8)(11x+8)}
\]
\end{enumerate}
