
\begin{rem}
Dès lors que l'équation à résoudre est de la forme :
\[
\sqrt{f(x)}=a,
\]
où $f$ est une fonction et $a$ un nombre réel positif, il faut s'assurer avant tout que ce qu'il y a sous la racine carrée soit positif ou nul; c'est la première condition.

Ensuite, on élève au carré chaque membre de l'équation pour résoudre l'équation :
\[
f(x)=a^2.
\]
\end{rem}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{3x-2}=7 & \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x-2\geqslant0\\
3x-2=7^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x\geqslant2\\
3x=49+2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant\dfrac 2 3\\[8pt]
x=\dfrac{51}{3}=17
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

$17\geqslant\dfrac{2}{3}$ donc l'ensemble solution de l'équation est : $\boxed{\mathcal{S}=\{17\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{\dfrac{5x-4}{3x+1}}=3
&
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
3x+1\neq0\\
\dfrac{5x-4}{3x+1} = 9
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4}{3x+1} - 9=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4}{3x+1} - \dfrac{9(3x+1)}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4-27x-9}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\sqrt{\dfrac{5x-4}{3x+1}}=3
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{-22x-13}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
-22x-13=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
x=-\dfrac{13}{22}
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

\medskip

On calcule maintenant $\dfrac{5x-4}{3x+1}$ pour $x=-\dfrac{13}{22}$ afin de voir si cette solution est valable :
\[ \dfrac{5x-4}{3x+1} = 9>0.\]

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{13}{22}\right\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{x^2+x+1}=x+1 & \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x+1\geqslant0\\
x^2+x+1=(x+1)^2
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x\geqslant-1\\
x^2+x+1=x^2+2x+1
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x\geqslant-1\\
x=0
\end{cases}
\end{aligned}$

On vérifie que $x^2+x+1\geqslant0$ pour $x=0$ (assez facilement) donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
x\sqrt{7}+\sqrt{2}=\sqrt{7}-x\sqrt{2} & \Longleftrightarrow x\sqrt{7}+x\sqrt{2}=\sqrt{7}-\sqrt{2}\\
& \Longleftrightarrow x\big(\sqrt{7}+\sqrt{2}\big)=\sqrt{7}-\sqrt{2}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)}{\big(\sqrt{7}+\sqrt{2}\big)\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\big(\sqrt{7}\big)^2-2\sqrt{7}\times\sqrt{2}+\big(\sqrt{2}\big)^2}{\big(\sqrt{7}\big)^2-\big(\sqrt{2}\big)^2}\\
& \Longleftrightarrow x= \dfrac{9-2\sqrt{14}}{5}.
\end{aligned}$

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{ \dfrac{9-2\sqrt{14}}{5}\right\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{(x-2)(3x+4)}=2(3x+4) & \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
2(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)=\big[2(3x+4)\big]^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x+4\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)=4(3x+4)^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x\geqslant-4\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)-4(3x+4)^2=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)\big[(x-2)-4(3x+4)\big]=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)(x-2-12x-16)=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)(-11x-18)=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
\left(
\begin{array}{l}
3x+4=0\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
-11x-18=0
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\sqrt{(x-2)(3x+4)}=2(3x+4)
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
\left(
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{4}{3}\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=-\dfrac{18}{11}
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

\medskip

On regarde maintenant si $(x-2)(3x+4)\geqslant0$ pour $x=-\dfrac{4}{3}$ et pour $x=-\dfrac{18}{11}$.

Pour $x=-\dfrac{4}{3}$, on obtient 0, donc cette valeur convient.

\medskip

Pour $x=-\dfrac{18}{11}$, on obtient $\dfrac{400}{121}>-\dfrac{4}{3}$ donc cette valeur convient.

\medskip

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{4}{3}~;~-\dfrac{18}{11} \right\}}$.
\end{enumerate}
