
\begin{enumerate}
\item $(d)\;:\;3x+4y+1=0$ et $(d')\;:\;-5x+6y-2=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{3x+4y+1=0@L_1,-5x+6y-2=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+20y+5=0@5L_1,-15x+18y-6=0@3L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+20y+5=0@L_1,38y-1=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $y=\dfrac{1}{38}$ et en remplaçant $y$ par cette valeur dans l'équation $3x+4y+1=0$ (par exemple), on obtient :
\[
3x+\dfrac{4}{38}+1=0 \iff 3x=\dfrac{-21}{19} \iff x=-\dfrac{7}{19}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\dfrac{7}{19}}{\dfrac{1}{38}}.}

\item $(d)\;:\;8x-3y-3=0$ et $(d')\;:\;-4x-5y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{8x-3y-3=0@L_1,-4x-5y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{8x-3y-3=0@L_1,-8x-10y+2=0@2L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{8x-3y-3=0@L_1,-13y-1=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $y=-\dfrac{1}{13}$ et avec l'équation $8x-3y-3=0$, on a :
\[
8x+\dfrac{3}{13}-3=0\iff 8x=\dfrac{36}{13}\iff x=\dfrac{9}{26}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{\dfrac{9}{26}}{-\dfrac{1}{13}}.}

\item $(d)\;:\;5x+7y+6=0$ et $(d')\;:\;3x-5y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{5x+7y+6=0@L_1,3x-5y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+21y+18=0@3L_1,-15x+25y-5=0@-5L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15x+21y+18=0@L_1,46y+13=0@L_1+L_2}
\end{align*}
O en déduit que $y=-\dfrac{13}{46}$ et à l'aide de l'équation $3x-5y+1=0$, on trouve :
\[
3x+\dfrac{65}{46}+1=0\iff  3x=-\dfrac{111}{46} \iff x = -\dfrac{37}{46}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\dfrac{37}{46}}{-\dfrac{13}{46}}.}

\item $(d)\;:\;\sqrt2x+\sqrt3y+1=0$ et $(d')\;:\;\sqrt3x-\sqrt2y+1=0$. On doit résoudre le système :
\begin{align*}
\systeme{\sqrt2x+\sqrt3y+1=0@L_1,\sqrt3x-\sqrt2y+1=0@L_2}
&\iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{\sqrt6x+3y+\sqrt3=0@\sqrt3L_1,-\sqrt6x+2y-\sqrt2=0@-\sqrt2L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{\sqrt6x+3y+\sqrt3=0@L_1,5y+\sqrt3-\sqrt2=0@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit alors que $y=\dfrac{\sqrt2-\sqrt3}{5}$ et à l'aide de l'équation $\sqrt2x+\sqrt3y+1=0$, on obtient :
\[
\sqrt2x+\dfrac{\sqrt6-3}{5}+1=0 \iff \sqrt2x = -\dfrac{\sqrt6+2}{5} \iff x = -\dfrac{\sqrt6+2}{5\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt{12}+2\sqrt2}{10}=-\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{5}.
\]
\underline{Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{-\frac{\sqrt3+\sqrt2}{5}}{\frac{\sqrt2-\sqrt3}{5}}.}
\end{enumerate}
