
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & =100\times60 - (100-2x)(60-2x)\\
& = \numprint{6000}-\numprint{6000}+200x+120x-4x^2\\
& = -4x^2+320x\\
\Aboxed{f(x) & = -4x(x-80)}
\end{aligned}$

\item On a : $\begin{aligned}[t]
-4(x-40)^2+\numprint{6400} & = -4(x^2-80x+\numprint{1600})+\numprint{6400}\\
& = -4x^2+320x-\numprint{6400}+\numprint{6400}\\
& = -4x^2+320x\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x)\leqslant\numprint{1500} & \iff -4(x-40)^2+\numprint{6400}\leqslant\numprint{1500}\\
& \iff -4(x-40)^2+\numprint{6400}-\numprint{1500}\leqslant0\\
& \iff \numprint{4900}-4(x-40)^2\leqslant0\\
& \iff 70^2-\big[2(x-40)\big]^2\leqslant0\\
& \iff \big[70-2(x-40)\big]\big[70+2(x-40)\big]\leqslant0\\
& \iff (70-2x+80)(70+2x-80)\leqslant0\\
& \iff (150-2x)(2x-10)\leqslant0\\
& \iff 2(75-x) \times 2(x-5)\leqslant0\\
& \iff (75-x)(x-5)\leqslant0
\end{aligned}$

\item Dressons le tableau de signes du produit $(75-x)(x-5)$ sur \intervFF{0}{30} (car $x$ ne peut pas dépasser 30 mètres, soit la moitié de la largeur du rectangle extérieur) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$75-x$/0.5,$x-5$/0.5,$(75-x)(x-5)$/0.5}{0,5,30}
\tkzTabLine{,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

Ainsi, l'aire jaune est inférieure à \numprint{1500} m$^2$ pour $0\leqslant x \leqslant5$.
\end{enumerate}
