
\begin{enumerate}
\item $(x-1)(x+2)\leqslant 0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(x-1)(x+2)$ sont les solutions des \'equations $x-1=0$ et $x+2=0$, donc sont \'egales \`a $x=1$ et $x=-2$.

De plus, le coefficient de $x$ dans chaque facteur est positif, donc pour chacun d'eux, le signe sera  : $-$ 0 $+$, d'o\`u le tableau de signes page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $x-1$/.8, $x+2$/.8, $(x-1)(x+2)$/.8}{$-\infty$,$-2$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+, }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervFF{-2}{1}}$

\item $(3x-2)(5x-7)\geqslant 0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(3x-2)(5x-7)$ sont les solutions des \'equations $3x-2=0$ et $5x-7=0$, donc sont \'egales \`a $x=\dfrac{2}{3}$ et $x=\dfrac{7}{5}$, o\`u $\dfrac{2}{3}<\dfrac{7}{5}$.

De plus, le coefficient de $x$ dans chaque facteur est positif, donc pour chacun d'eux, le signe sera  : $-$ 0 $+$, d'o\`u le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $3x-2$/.8, $5x-7$/.8, $(3x-2)(5x-7)$/.8}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$\frac{7}{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+, }
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{2}{3}}\cup\intervFO{\dfrac{7}{5}}{+\infty}}$

\item $(5x-1)(-x+9)(2x+1)>0$.

Les valeurs de $x$ qui annulent le produit $(5x-1)(-x+9)(2x+1)$ sont les solutions des \'equations $5x-1=0$, $-x+9=0$ et $2x+1=0$, donc sont \'egales \`a $x=\dfrac{1}{5}$, $x=9$ et $x=-\dfrac{1}{2}$, o\`u $-\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{5}<9$.

D'o\`u le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $5x-1$/.8, $-x+9$/.8, $2x+1$/.8,Produit/.8}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{5}$,$9$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{2}}\cup\intervOO{\dfrac{1}{5}}{9}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}<\dfrac{2x+6}{4x^2-1}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(2x+1)^2-(2x-1)^2}{(2x+1)(2x-1)}<\dfrac{2x+6}{4x^2-1}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1)-2x-6}{4x^2-1}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{8x-2x-6}{(2x-1)(2x+1)}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{6(x-1)}{(2x+1)(2x-1)}<0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $x-1$/.8, $2x+1$/.8, $2x-1$/.8,Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-,z,+, }
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,,+}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+,}
\tkzTabLine{,-,d,+,d,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{1}{2}}\cup\intervOO{\dfrac{1}{2}}{1}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{5x+4}{2x-3}+\dfrac{(8-x)(10x+8)}{(2x-3)^2}\leq0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(5x+4)(2x-3)+2(8-x)(5x+4)}{(2x-3)^2} \leq 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(5x+4)(2x-3+16-2x)}{(2x+3)^2} \leq 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{13(5x+4)}{(2x-3)^2} \leq 0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $5x+4$/.8, $(2x-3)^2$/.8, Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{4}{5}$,$\frac{3}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{4}{5}}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3)}{2x-7}<4-3x\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3)-(4-3x)(2x-7)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-10x-3-2x+7)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(9x^2-12x+4)}{2x-7}<0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(4-3x)(3x-2)^2}{2x-7}<0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]
{$x$/0.8,$4-3x$/.8,$(3x-2)^2$/.8,$2x-7$/.8,Fraction/.8}
{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{7}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,-, ,-}
\tkzTabLine{,+,z,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}}\cup\intervOO{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}}\cup\intervOO{\dfrac{7}{2}}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x(x^2-1)}\, ,\, x\neq0,\ x\neq-1,\ x\neq1\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{x(x+1)-x(x-1)-(x+1)(x-1)-2}{x(x-1)(x+1)}\leq 0\qquad(\text{remarqué:}(x^2-1)=(x-1)(x+1))\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{2x-x^2-1}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow& -\dfrac{x^2-2x+1}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow& -\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow&\, x(x+1)(x-1)>0,\ \text{car } (x-1)^2 >0
\end{aligned}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.7,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]
{$x$/.8,$x$/.8,$x+1$/.8,$x-1$/.8,Fraction/.8}
{$-\infty$,$-1$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-, ,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,d,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-1}{0}\cup\intervOO{1}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{1-2x}{16x^2-9}\geqslant\dfrac{1-2x}{4x+3}\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{(1-2x)-(1-2x)(4x-3)}{16x^2-9}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow &\, \dfrac{(1-2x)(1-4x+3)}{16x^2-9}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow&\, \dfrac{4(1-2x)(1-x)}{(4x-3)(4x+3)}\geqslant 0
\end{aligned}$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0.5,espcl=1.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8, $1-2x$/.8, $1-x$/.8, $4x-3$/.8, $4x+3$/.8,Fraction/.8}{$-\infty$,$-\frac{3}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,-, ,-, ,-}
\tkzTabLine{,+, ,+, ,+, ,+,z,-}
\tkzTabLine{,-, ,-, ,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+, ,+, ,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc $\boxed{S=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{3}{4}}\cup\intervFO{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4}}\cup\intervFO{1}{+\infty}}$
\end{enumerate}
