\chapter{Les nombres réels}

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\section{Nombres réels}

\subsection{Des entiers naturels aux nombres réels}

\begin{defin}[symbole d'appartenance]
On considère un ensemble quelconque $E$.

On dit que $x$ est un \textit{élément} de $E$ si $x$ appartient à l'ensemble $E$. On note alors:
\[
x\in E.
\]
\end{defin}

\begin{defin}[ensembles de nombres]
\begin{itemize}
\item L'ensemble des \textbf{entiers naturels} est l'ensemble des nombres : 0, 1, 2, ... 

On le note \N:
\[
\N=\{0;1;2;3;\ldots\}
\]

\item L'ensemble des \textbf{entiers relatifs} est l'ensemble composé des entiers naturels et de leur opposés. 

On le note \Z:
\[
\Z=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}
\]

\item L'ensemble des \textbf{nombres décimaux} est l'ensemble de tous les nombres qui s'écrivent sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ et $n$ sont deux entiers relatifs.

On le note \D. C'est l'ensemble des nombres à virgule à écriture \textit{finie}.
\[
\D=\{a \times 10^n~, a\in\Z,\ n\in\Z\}
\]

\item L'ensemble des \textbf{nombres rationnels} est l'ensemble de tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, avec $b\neq0$. 

On le note \Q:
\[
\Q = \left\{\frac{a}{b},\ a\in\Z,\ b\in\Z,\ b\neq0\right\}
\]

\item L'ensemble des \textbf{nombres réels} est l'ensemble de tous les nombres pouvant représenter une quantité réelle.

On le note \R.
\end{itemize}
\end{defin}

\subsection{Représentations des ensembles}

\subsubsection{La droite des réels}

L'ensemble des nombres réels est représenté par une droite graduée sur laquelle on peut mettre n'importe quel nombre réel:

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[outer ysep=1ex]
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0) node[below] {\R};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\draw[thick,red] (3.14159,0.1) -- (3.14159,-0.1) node[above] {$\pi$};
\draw[thick,red] (1.414,0.1) -- (1.414,-0.1) node[above] {$\sqrt2$};
\draw[thick,red] ({-15/7},0.1) -- ({-15/7},-0.1) node[above] {$-\frac{15}{7}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Diagramme de Venn}

\begin{defin}[symbole d'inclusion]
Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. Si tous les éléments de $F$ sont aussi dans $E$, on dit que $F$ est \textbf{inclus} dans $E$, et on note:
\[
\begin{cases}
F \subset E & \text{ si $E$ est plus grand que $F$}\\
F \subseteq E & \text{ si $F$ peut être confondu avec $E$}
\end{cases}
\]
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs, donc $\N\subset\Z$.
\item Tous les entiers relatifs sont aussi des nombres décimaux, donc $\Z\subset\D$.
\item Tous les nombres décimaux sont aussi des nombres rationnels, donc $\D\subset\Q$.
\item Tous les nombres rationnels sont aussi des nombres réels, donc $\Q\subset\R$.
\end{itemize}
On a donc:
\[
\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R.
\]
\end{prop}

Cette dernière propriété se représente par le diagramme de Venn suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (img) {
\begin{tikzpicture}
\filldraw[thick,fill=purple!10,draw=purple!50!black] (-7,-5) rectangle(7,5);
\node[purple!50!black] at (0,4.5) {\R};
\node[purple!50!black] at (-6,0) {$\sqrt2$};
\node[purple!50!black] at (5,4) {$\sqrt3$};
\node[purple!50!black] at (-6.5,-4.5) {$\pi$};
\node[purple!50!black] at (5.5,-3.5) {$\sqrt\pi$};
%
\filldraw[thick,fill=blue!10,draw=blue!50!black] (0,0) circle[x radius=5cm,y radius=4cm];
\node[blue!50!black] at (0,3.5) {\Q};
\node[blue!50!black] at (30:4.2) {$\frac{2}{7}$};
\node[blue!50!black] at (-30:4.2) {$-\frac{5}{9}$};
\node[blue!50!black] at (110:3.7) {$\frac{47}{3}$};
\node[blue!50!black] at (-130:3.9) {$-\frac{101}{11}$};
\node[blue!50!black] at (160:4.4) {$\frac{50}{13}$};
%
\filldraw[thick,fill=orange!10,draw=orange!50!black,opacity=75] (0,0) circle[x radius=4cm,y radius=3cm];
\node[orange!50!black] at (0,2.5) {\D};
\node[orange!50!black,scale=0.8] at (-150:3.2) {$-3,48$};
\node[orange!50!black] at (10:3.4) {$0,1$};
\node[orange!50!black,scale=0.8] at (-30:3.2) {$-0,001$};
\node[orange!50!black,scale=0.8] at (140:3) {$5\times10^{-8}$};
%
\filldraw[thick,fill=green!10,draw=green!50!black] (0,0) circle[x radius=3cm,y radius=2cm];
\node[green!50!black] at (0,1.5) {\Z};
\node[green!50!black] at (30:2.2) {$-2$};
\node[green!50!black] at (-50:1.9) {$-8$};
\node[green!50!black] at (-170:2.35) {$-18$};
%
\filldraw[thick,fill=red!10,draw=red!50!black] (0,0) circle[x radius=2cm,y radius=1cm];
\node[red!50!black] at (0,.5) {\N};
\node[red!50!black] at (-10:1) {$7$};
\node[red!50!black] at (-120:0.5) {$0$};
\node[red!50!black] at (150:1) {$1$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{defin}
Si un nombre est réel mais n'est pas rationnel, on dit qu'il est \textbf{irrationnel}.
\end{defin}

\section{Intervalles}

\subsection{Définitions et notations}

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.

\begin{defin}[intervalle fermé]
On notera \intervFF{a}{b} l'ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$. Ici, $a$ et $b$ sont \emph{compris} dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'intérieur.

On dira que \intervFF{a}{b} est un \textbf{intervalle fermé}.
\end{defin}

\begin{exemple}
On représentera \intervFF{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-2.9,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-2.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (3.9,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (3.9,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{defin}[intervalle ouvert]
On notera \intervOO{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ et $b$ qui ne sont pas compris dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'extérieur.

On dira que \intervFF{a}{b} est un \textbf{intervalle ouvert}
\end{defin}


\begin{exemple}
On représentera \intervOO{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-3.1,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-3.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (4.1,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (4.1,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{defin}[intervalle semi-ouvert à gauche]
On notera \intervOF{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du côté de $a$) et $b$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du côté de $b$).
\end{defin}

\begin{exemple}
On représentera \intervOF{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-3.1,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-3.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (3.9,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (3.9,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}


\begin{defin}[intervalle semi-ouvert à droite]
On notera \intervFO{a}{b} l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du côté de $a$) et $b$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du côté de $b$).
\end{defin}

\begin{exemple}
On représentera \intervFO{-3}{4} ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\draw[very thick,red] (-3,0) -- (4,0);
\draw[very thick,red] (-2.9,0.2) -- (-3,0.2) -- (-3,-0.2) -- (-2.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (4.1,0.2) -- (4,0.2) -- (4,-0.2) -- (4.1,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{defin}[intervalle infini]
\begin{itemize}
\item On notera \intervOO{-\infty}{a} l'ensemble des nombres strictement plus petits que $a$.
\item On notera \intervOF{-\infty}{a} l'ensemble des nombres plus petits que $a$ ou égaux à $a$.
\item On notera \intervOO{a}{+\infty} l'ensemble des nombres strictement plus grands que $a$.
\item On notera \intervFO{a}{+\infty} l'ensemble des nombres plus grands que $a$ ou égaux à $a$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{rem}
Le crochet est toujours \textit{ouvert} du côté de l'infini (car on ne peut jamais atteindre l'infini).
\end{rem}

\subsection{Appartenance à un intervalle}

Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b}, on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}.\]
Cela signifie que $x$ est compris entre $a$ et $b$ et on pourra donc l'écrire aussi :
\[ a \leqslant x \leqslant b.\]

\begin{attention}
Les signes d'inégalité sont choisis en fonction du sens des crochets de l'intervalle :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[double distance=2pt,->] (0,0) node[left] {$x\in\intervFF{a}{b}$} -- (3,0) node[right] {$a\leqslant x\leqslant b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-1) node[left] {$x\in\intervOO{a}{b}$} -- (3,-1) node[right] {$a< x < b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-2) node[left] {$x\in\intervOF{a}{b}$} -- (3,-2) node[right] {$a< x\leqslant b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-3) node[left] {$x\in\intervFO{a}{b}$} -- (3,-3) node[right] {$a\leqslant x< b$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-4) node[left] {$x\in\intervFO{a}{+\infty}$} -- (3,-4) node[right] {$x\geqslant a$};
\draw[double distance=2pt,->] (0,-5) node[left] {$x\in\intervOO{-\infty}{a}$} -- (3,-5) node[right] {$x< a$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{attention}

Pour écrire qu'un nombre $x$ n'appartient pas à un intervalle \intervFF{a}{b}, on écrira : $x\notin\intervFF{a}{b}$.


\subsection{Union et intersection d'intervalles}

\begin{itemize}
\item Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b} \textbf{ou} à un intervalle \intervFF{c}{d}, on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}.\]
On représentera l'union ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[very thick,red] (-4,0) -- (-2.5,0);
\draw[very thick,red] (-3.9,0.2) -- (-4,0.2)  -- (-4,-0.2) node[below] {$a$}-- (-3.9,-0.2);
\draw[very thick,red] (-2.6,0.2) -- (-2.5,0.2) -- (-2.5,-0.2) node[below] {$b$} -- (-2.6,-0.2);
\draw[very thick,red] (0,0) -- (2.5,0);
\draw[very thick,red] (0.1,0.2) -- (0,0.2) -- (0,-0.2) node[below] {$c$} -- (0.1,-0.2);
\draw[very thick,red] (2.4,0.2) -- (2.5,0.2) -- (2.5,-0.2) node[below] {$d$}-- (2.4,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{attention}
Si les deux intervalles se chevauchent,

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] (d) {\hspace*{1cm} devient :};
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$b$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[thick,blue] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$d$} -- (1.4,-0.2);
\draw[->] ($(d.east)+(1,0)$) -- ($(d.east)+(5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(1.5,0)$) -- ($(d.east)+(4.5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(1.6,0.2)$) -- ($(d.east)+(1.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(1.5,-0.2)$) node[below] {$a$}-- ($(d.east)+(1.6,-0.2)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(4.4,0.2)$) -- ($(d.east)+(4.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(4.5,-0.2)$) node[below] {$d$}-- ($(d.east)+(4.4,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), $\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}=\intervFF{a}{d}$.
\end{attention}

\item Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle \intervFF{a}{b} \textbf{et} à un intervalle \intervFF{c}{d}, on écrira :
\[ x\in\intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}.\]

\begin{itemize}
\item Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, l'intersection est \emph{vide} (n'existe pas).

On notera alors : \[ \intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}=\varnothing.\]

\item Si les deux intervalles se chevauchent, l'intersection est l'ensemble en commun aux deux intervalles :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] (d) {~~intersecion :};
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$b$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[thick,blue] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$d$} -- (1.4,-0.2);
\draw[->] ($(d.east)+(1,0)$) -- ($(d.east)+(5,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(2.5,0)$) -- ($(d.east)+(4,0)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(2.6,0.2)$) -- ($(d.east)+(2.5,0.2)$)  -- ($(d.east)+(2.5,-0.2)$) node[below] {$c$}-- ($(d.east)+(2.6,-0.2)$);
\draw[very thick,purple] ($(d.east)+(3.9,0.2)$) -- ($(d.east)+(4,0.2)$)  -- ($(d.east)+(4,-0.2)$) node[below] {$b$}-- ($(d.east)+(3.9,-0.2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Inclusion d'intervalles}

Si un intervalle \intervFF{c}{d} est \emph{inclus} dans un autre intervalle \intervFF{a}{b}, on écrira :
\[ \intervFF{c}{d}\subset\intervFF{a}{b}.\]
Cela se schématise de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[very thick,red] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[very thick,red] (-1.4,0.2) -- (-1.5,0.2)  -- (-1.5,-0.2) node[below] {$a$}-- (-1.4,-0.2);
\draw[very thick,blue] (0.9,0.2) -- (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {$d$} -- (0.9,-0.2);
\draw[thick,blue] (-.5,0) -- (1,0);
\draw[thick,blue] (-.4,0.2) -- (-.5,0.2)  -- (-.5,-0.2) node[below] {$c$}-- (-.4,-0.2);
\draw[very thick,red] (1.4,0.2) -- (1.5,0.2) -- (1.5,-0.2) node[below] {$b$} -- (1.4,-0.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Notations particulières}
\enlargethispage*{2\baselineskip}

L'ensemble des nombres réels auquel on enlève le nombre 0 est noté: \R* ou $\R\setminus\{0\}$.

L'ensemble des nombres réels auquel on enlève le nombre $a$ est noté: $\R\setminus\{a\}$.

De plus, on notera:
\[
\intervOF{-\infty}{0}=\R_-\quad;\quad \intervOO{-\infty}{0}=\R_-^*\quad;\quad \intervFO{0}{+\infty}=\R_+\quad;\quad\intervOO{0}{+\infty}=\R_+^*.
\]
\begin{rem}
L'étoile est toujours en haut, tout comme les étoiles sont toujours en haut, dans le ciel... (poétique non ?)
\end{rem}

\newpage
\section{Valeur absolue d'un nombre réel}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $a$ un nombre réel. On appelle \textbf{valeur absolue} de $a$ la distance qui sépare $a$ de 0 sur la droite des réels. On la note $|a|$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[outer ysep=1ex]
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0) node[below] {\R};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\draw[->,>=latex,red] (0,0) to[bend right=20] (-3,0);
\node[red,right] at (-2.5,0.8) {$\vert-3\vert=3$ car \og $-3$ \fg{} est à 3 unités de \og 0 \fg};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{rem}
On a donc : $\begin{cases}
|a|=a & \text{ si }a\geqslant0\\
|a|=-a & \text{ si }a<0.
\end{cases}$.
\end{rem}

\subsection{Distance entre deux nombres réels}


\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

La distance entre $a$ et $b$ est égale à $|a-b|$ (ou $|b-a|$, ce qui est la même chose).
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[outer ysep=1ex]
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0) node[below] {\R};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\draw[<->,>=latex,red] (4,0) to[bend right=20] (-3,0);
\node[red] at (.5,1) {$\vert-3-4\vert=\vert-7\vert=7$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
$-3$ et 4 sont distants de 7 unités car $|-3-4|=|-7|=7$.
\end{exemple}

\enlargethispage*{2\baselineskip}
\subsection{Résolution de l'équation \boldmath$|x-a|\leqslant r$}

\begin{prop}
Soient $a$ et $r$ deux nombres réels, avec $r>0$.
\vspace*{-3mm}
\[
|x-a|\leqslant r \iff x \in\intervFF{a-r}{a+r}.
\]
\[
|x-a|< r \iff x \in\intervOO{a-r}{a+r}.
\]
\end{prop}
\newpage
En effet, dire que $|x-a|\leqslant r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[outer ysep=1ex]
\draw[->,>=latex] (-5,0) -- (5,0) node[below] {\R};
\foreach\x/\d in {-4/$a-r$,-3/$\cdots$,-2/$a-2$,-1/$a-1$,0/$a$,1/$a+1$,2/$a+2$,3/$\cdots$,4/$a+r$}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.75] {\d};
}
\draw[->,>=latex,red] (0,0) to[bend left=20] (4,0);
\node[red] at (2,1) {$a+r$};
\draw[->,>=latex,red] (0,0) to[bend right=20] (-4,0);
\node[red] at (-2,1) {$a-r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{exemple}
$\begin{aligned}
|x+5|\leqslant3 & \iff |x-(-5)|\leqslant3 \\
& \iff x\in\intervFF{-5-3}{-5+3}\\
& \iff x\in\intervFF{-8}{-2}.
\end{aligned}$
\end{exemple}

\subsection{Encadrement décimal}

\begin{defin}
Soient $x$ un nombre réel et $n$ un entier naturel. 

\textbf{\boldmath Trouver un encadrement décimal de $x$ à $10^{-n}$ près} signifie trouver un intervalle \intervFF{a}{b} tel que $|x-a|\leqslant10^{-n}$ et $|x-b|\leqslant10^{-n}$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Un encadrement de $\pi$ à $10^{-2}$ près est:
\[
3,14 \leqslant \pi \leqslant 3,15
\]
car $|\pi-3,14|\approx0,0016\leqslant10^{-2}$ et $|\pi-3,15|\approx0,008\leqslant10^{-2}$.

\item Un encadrement de $\sqrt2$ à $10^{-3}$ près est:
\[
1,414 \leqslant \sqrt2 \leqslant 1,415
\]
car $|\sqrt2-1,414|\approx0,0002\leqslant10^{-3}$ et $|\sqrt2-1,415|\approx0,0008\leqslant10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{rem}
Trouver un encadrement décimal à $10^{-n}$ près de la forme \intervFF{a}{b} revient à écrire $a$ et $b$ sous la forme décimale avec $n$ chiffres après la virgule.
\end{rem}

\begin{rem}
Quand on connaît une valeur approchée de $x$, pour obtenir un encadrement décimal à $10^{-n}$ près, 
\begin{itemize}
\item $a$ est la troncature de la partie décimale de $x$ avec $n$ chiffres après la virgule;
\item $b$ est obtenu à partir de $a$ en ajoutant \og 1 \fg{} au dernier chiffre de la partie décimale.
\end{itemize}
Par exemple, pour $\pi\approx3,14159\ldots$, pour un encadrement à $10^{-3}$, on prend 3 chiffres après la virgule pour obtenir $a$ ($a=3,141$) et on ajoute 1 au dernier chiffre de la partie décimale de $a$ pour obtenir $b$ ($141+1=142$ donc $b=3,142$). On obtient alors:
\[ 
3,141\leqslant\pi\leqslant3,142.
\]
\end{rem}

\section{Racines carrées}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.

On dit que $y$ est la \textbf{racine carrée} de $x$, et on écrit $\pmb{y=\sqrt{x}}$, si $y^2=x$ et $y\geqslant0$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item 3 est la racine carrée de 9 car $3^2=9$ : $\sqrt9=3$.
\item 10 est la racine carrée de 100 car $10^2=100$ : $\sqrt{100}=10$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{rem}
$(-3)^2=9$ mais $-3$ n'est pas la racine carrée de 9 car la définition dit bien que la racine carrée d'un nombre est positive ou nulle ($y\geqslant0$).
\end{rem}

\begin{prop}
Quel que soit le nombre réel $a$, 
\[
\sqrt{a^2} = |a|.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.
\item $\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$.
\item $\sqrt{7^2}=|7|=7$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Règles de calculs}

\begin{prop}
Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ positifs ou nuls,
\[
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{demo}
Nous avons d'une part :
\[
\big(\sqrt{ab}\big)^2=ab~;
\]
d'autre part,
\[
\big(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\big)^2=\big(\sqrt{a}\big)^2 \times \big(\sqrt{b}\big)^2 = a \times b=ab.
\]
Or, $\sqrt{ab}\geqslant0$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{b}\geqslant0$ $^{(*)}$, donc:
\[
\big(\sqrt{ab}\big)^2=\big(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\big)^2 \iff \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}.
\]
\end{demo}

\begin{rem}
Il fallait ici préciser les conditions (*) car dans un cas général, ce n'est pas parce que l'on a $x^2=y^2$ que $x=y$.

Par exemple, $(-3)^2=3^2$. Les conditions de positivité sont donc ici nécessaires car si $x\geqslant0$ et $y\geqslant0$ alors on peut dire que $x^2=y^2$ implique que $x=y$.

Nous en dirons plus sur cela dans le chapitre qui traitera de la fonction carré.
\end{rem}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt4\times\sqrt2=2\sqrt2.$
\item $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt3=5\sqrt3$.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\begin{prop}
Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ positifs, avec $b\neq0$,
\[
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
On a d'une part: $\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=\dfrac{a}{b}$~;
d'autre part, $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)=\dfrac{\big(\sqrt{a}\big)^2}{\big(\sqrt{b}\big)^2}=\dfrac{a}{b}$.

\medskip

Or, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}\geqslant0$ et $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant0$ donc $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
\end{demo}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt9}=\dfrac{5}{3}$.
\item $\sqrt{\dfrac{16}{36}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{36}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\newpage

\begin{attention}
\[
\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}.
\]
Pour s'en convaincre, il suffit de calculer par exemple :
\[
\begin{cases}
\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\
\sqrt1+\sqrt4=1+2=3.
\end{cases}
\]
On voit alors que les deux résultats ne sont pas égaux.
\end{attention}

\begin{rem}
Le symbole du radical (c'est-à-dire le symbole \og $\sqrt{\phantom{T}}$ \fg{}  est dû au mathématicien allemand Christoff Rudolff (1499 - 1545).

Dans l'écriture $\sqrt{a}$, \og $a$ \fg{} est appelé le \textit{radicande}.
\end{rem}

\subsubsection*{Simplifier un radical par décomposition en produit de facteurs premiers}

Pour simplifier $\sqrt{\numprint{17146080}}$ (par exemple), on peut avant tout décomposer le radicande en produit de facteurs premiers:
\begin{itemize}
\item $\numprint{17146080}$ est divisible par 2 donc on commence par diviser par 2:
\begin{center}
\opidiv{17146080}{2}
\end{center}
\item Le quotient obtenu est encore divisible par 2 donc on continue:
\begin{center}
\opidiv{8573040}{2}
\end{center}
\item Le quotient est encore divisible par 2 donc on continue jusqu'à obtenir un quotient impair. On obtient alors:
\[
\numprint{17146080}=2^5\times\numprint{535815}.
\]
\newpage
\item $\numprint{535815}$ est divisible par 3 (car la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3) donc on divise par 3:
\begin{center}
\opidiv{535815}{3}
\end{center}

\item Le quotient obtenu est encore divisible par 3 donc on continue jusqu'à obtenir un quotient non multiple de 3. On obtient alors:
\[
\numprint{535815}=3^7\times245.
\]

\item On passe au nombre premier qui suit 3 : c'est 5. 245 est divisible par 5, et:
\[
245 = 5\times49=5\times7^2.
\]
\item Finalement, le radicande s'écrit :
\[
\numprint{17146080}=2^5\times3^7\times5\times7^2.
\]
Comme nous souhaitons simplifier une racine carrée, seuls les exposants pairs nous intéressent; on écrit donc:
\[
\numprint{17146080}=2^4\times2\times3^6\times3\times5\times7^2.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\sqrt{\numprint{17146080}} & = \sqrt{2^4} \times \sqrt{3^6} \times \sqrt{7^2} \times \sqrt{2\times3\times5}\\
& = 2^2 \times3^3 \times 7^1 \times \sqrt{30}\\
& = \underline{756\sqrt{30}}.
\end{align*}
\end{itemize}

\section{Raisonnement par l'absurde}

\begin{defin}
Un \textbf{raisonnement par l'absurde} est un raisonnement dans lequel on part d'une donnée contraire à ce que l'on veut démontrer afin d'arriver à une contradiction mathématique.
\end{defin}

\subsection{\boldmath$\frac{1}{3}$ n'est pas décimal}

On considère la propriété:
\[
(P)\quad:\quad \text{\og $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal \fg.}
\]

\begin{itemize}
\item \textbf{\'Etape 1: on suppose que le contraire de (P) est vraie.}

On suppose alors que $\dfrac{1}{3}$ est décimal.

\item \textbf{\'Etape 2: on exploite cette supposition pour arriver à une absurdité.}


Si $\dfrac{1}{3}$ est décimal alors, par définition d'un nombre décimal,
\[
\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n},\quad \text{où }a\in\N,\ n\in\N
\]
car $0<\dfrac{1}{3}<1$.

\medskip

Ainsi, les produits en croix sont égaux:
\[
1 \times 10^n = 3 \times a\qquad\text{soit}\qquad10^n=3a.
\]
Ce qui signifie que $10^n$ est un multiple de 3, ce qui n'est pas le cas car un nombre est multiple de 3 uniquement si la somme de ses chiffres est elle-même un multiple de 3.

\medskip

Or, $10^n=1000\ldots$ donc la somme des chiffres de $10^n=1$, qui n'est pas un multiple de 3.

\item \textbf{\'Etape 3: conclusion.}


Supposer que $\dfrac{1}{3}$ est un décimal implique que $10^n$ est un multiple de 3, ce qui est absurde. Par conséquent, $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un décimal.
\end{itemize}


\subsection{\boldmath$\sqrt2$ est irrationnel}

Supposons que $\sqrt2$ soit rationnel. Alors, il existe deux nombres $p$ et $q$ premiers entre eux tels que :
\[
\sqrt2=\dfrac{p}{q}.
\]
Ainsi, en élevant au carré, on a:
\[
\big(\sqrt2\big)^2 = \left(\dfrac{p}{q}\right)^2\qquad\text{soit}\qquad2=\dfrac{p^2}{q^2}.
\]
Donc,
\[
p^2=2q^2.
\]
$p^2$ est donc un nombre pair, ce qui signifie que $p$ est aussi un nombre pair (en effet, si $p$ était impair, en l'élevant au carré, on obtiendrait encore un nombre impair).

Donc:
\[
p=2k.
\]
Alors,
\[
(2k)^2=2q^2\qquad\text{soit}\qquad4k^2=2q^2.
\]
En divisant par 2 à droite et à gauche du signe \og $=$ \fg, on obtient:
\[
2k^2=q^2.
\]
Cela signifie que $q^2$ est pair, et donc que $q$ est aussi pair.

\medskip

On arrive alors au fait que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui est impossible car on a supposé que $p$ et $q$ étaient premiers entre eux.

\bigskip

Ainsi, $\sqrt2$ ne peut pas s'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$; $\sqrt2$ n'est donc pas rationnel.

\exercices

\subsection*{Ensembles, intervalles}

%%%

\begin{exocor}{appartenance à un ensemble}[1]
À quel ensemble les nombres suivants appartiennent-ils ? Donner le plus petit ensemble possible.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{5}
\item $\sqrt\pi$
\item $\dfrac{7}{4}$
\item $\sqrt{(-5)^2}$
\item $\dfrac{1}{\pi}$
\item $\dfrac{5}{3}$
\item $\pi^2$
\item $\sqrt{3^2+4^2}$
\item $-\dfrac{48}{4}$
\item $\dfrac{7}{10^8}$
\item $\dfrac{7}{6}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt\pi\in\R$ car il ne peut pas s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$; il n'est donc pas rationnel.
\item $\dfrac{7}{4}=7\div4=1,75$; sa partie décimale est finie donc $\dfrac{7}{4}\in\D$.
\item $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\in\N$.
\item $\dfrac{1}{\pi}\in\R$ (quand on voit $\pi$ dans un calcul, en général, le nombre est irrationnel, donc réel).
\item $\dfrac{5}{3}\in\Q$ car $\dfrac{5}{3}\notin\D$ (en effet, $5\div3\approx1,666\ldots$ donc sa partie décimale est infinie; il n'est donc pas décimal).
\item $\pi^2\in\R$.
\item $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\in\N$.
\item $-\dfrac{48}{4}=-48\div4=-12\in\Z$.
\item $\dfrac{7}{10^8}\in\D$ car il s'écrit sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$.
\item $\dfrac{7}{6}$ n'est pas simplifiable (car 7 et 6 n'ont pas de facteurs communs) donc $\dfrac{7}{6}\in\Q$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{appartenance à un intervalle}[1]
Compléter les affirmations suivantes avec l'un des symboles : $\in$ ou $\notin$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dfrac{1}{3}\ldots\intervFF{-1}{\dfrac{1}{2}}$
\item $\dfrac{7}{5}\ldots\intervFF{0}{1}$
\item $\dfrac{8}{9}\ldots\intervFF{0}{1}$
\item $-\dfrac{9}{7}\ldots\intervFF{-2}{-1}$
\item $\dfrac{9}{4}\ldots\intervFF{2}{3}$
\item $\dfrac{8}{5}\ldots\intervOO{1,6}{1,7}$
\item $\dfrac{1}{\pi}\ldots\intervFF{\pi}{\pi+1}$
\item $\dfrac{15}{14}\ldots\intervFF{1,06}{1,07}$
\item $-\dfrac{20}{21}\ldots\intervFF{-1}{-0,9}$
\item $-\dfrac{78}{79}\ldots\intervOO{-0,99}{-0,98}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{3}\in\intervFF{-1}{\dfrac{1}{2}}$ car $\dfrac{1}{3}\approx0,333\ldots$
\item $\dfrac{7}{5}\notin\intervFF{0}{1}$ car $\dfrac{7}{5}=1,4$.
\item $\dfrac{8}{9}\in\intervFF{0}{1}$ car $0<8<9$.
\item $-\dfrac{9}{7}\in\intervFF{-2}{-1}$ car $-\dfrac{9}{7}\approx-1,2857\ldots$
\item $\dfrac{9}{4}\in\intervFF{2}{3}$ car $\dfrac{9}{4}=2,25$.
\item $\dfrac{8}{5}\notin\intervOO{1,6}{1,7}$ car $\dfrac{8}{5}=1,6$ (attention aux crochets ouverts !)
\item $\dfrac{1}{\pi}\notin\intervFF{\pi}{\pi+1}$ car $0<\dfrac{1}{\pi}<1$ et $\pi>1$.
\item $\dfrac{15}{14}\notin\intervFF{1,06}{1,07}$ car $\dfrac{15}{14}\approx1,0714\ldots$
\item $-\dfrac{20}{21}\in\intervFF{-1}{-0,9}$ car $-\dfrac{20}{21}\approx-0,95\ldots$
\item $-\dfrac{78}{79}\in\intervOO{-0,99}{-0,98}$ car $-\dfrac{78}{79}\approx-0,987\ldots$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{encadrement}[1]
Donner un encadrement décimal des nombres suivants à $10^{-n}$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\pi^2$, $n=4$
\item $\sqrt3$, $n=3$
\item $\sqrt5$, $n=5$
\item $\dfrac{1}{\pi}$, $n=1$
\item $\sqrt7+\sqrt{11}$, $n=0$
\item $\dfrac{2}{3}$, $n=2$
\item $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$, $n=4$
\item $-\dfrac{7}{11}$, $n=5$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\pi^2\approx9,86960440109$ donc $9,8696 < \pi^2 < 9,8697$.
\item $\sqrt3\approx1,73205080757$ donc $1,732 < \sqrt3 < 1,733$.
\item $\sqrt5\approx2,2360679775$ donc $2,23606 < \sqrt5 < 2,23607$.
\item $\dfrac{1}{\pi}\approx0,318309886184$ donc $0,3 < \dfrac{1}{\pi} < 0,4$.
\item $\sqrt7+\sqrt{11}\approx5,96237610142$ donc $5 < \sqrt7+\sqrt{11} < 6$.
\item $\dfrac{2}{3}\approx0,666\ldots$ donc $0,66 < \dfrac{2}{3} < 0,67$.
\item $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\approx0,816496580928$ donc $0,8164 < \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}<0,8165$.
\item $-\dfrac{7}{11}\approx-0,636363636364$ donc $-0,63637 < -\dfrac{7}{11} < -0,63636$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{0,999... = 1}[2]
On pose $x=0,999\ldots$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $10x=9+x$.
\item En déduire que $x=1$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x=0,999\ldots$ donc:
$\begin{aligned}[t]
10x & =10\times0,999\ldots\\
& =9,999\ldots\\
& =9+0,999\ldots\\
10x & =9+x
\end{aligned}$

\item De l'égalité $10x=9+x$ on déduit : $10x-x=9$, soit: $9x=9$. En divisant par 9 de part et d'autre du signe \og $=$ \fg{} :
\[
x=\dfrac{9}{9}=1.
\]
On déduit donc que:
\[
0,999\ldots=1.
\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
il n'est pas rare de voir un nombre avec différentes écritures. Par exemple, $1=\sqrt1$. 
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trouver l'écriture rationnelle d'un nombre décimal}[2]
On pose $x=\numprint{0,718718718}\ldots$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\numprint{1000}x=718+x$.
\item En déduire l'écriture rationnelle de $x$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
x & =\numprint{0,718718718}\ldots\\
\iff \numprint{1000}x & =\numprint{1000}\times\numprint{0,718718718}\ldots\\
 \iff \numprint{1000}x & =\numprint{718,718718718}\ldots\\
 \iff \numprint{1000}x & = 718 + \numprint{0,718718718}\ldots\\
\iff \numprint{1000}x & = 718 +x
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\numprint{1000}x & = 718 +x
\iff \numprint{1000}x-x&=718\\
\iff 999x & = 718\\
\iff x & =\dfrac{718}{999}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Valeurs absolue}

%%%

\begin{exocor}{exprimer sans valeur absolue}[1]
Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $|\pi-3|$
\item $|2\pi+7|$
\item $|7-3\pi|$
\item $|\pi-4|$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\pi\approx3,14$ donc $\pi>3$; ainsi, $\pi-3>0$ et donc \underline{$|\pi-3|=\pi-3$}.

\item $2\pi+7>0$ donc \underline{$|2\pi+7|=2\pi+7$}.

\item $3\pi\approx10$ donc $7-3\pi<0$. Ainsi, $|7-3\pi|=-(7-3\pi)$, c'est-à-dire \underline{$|7-3\pi|=3\pi-7$}.

\item $\pi\approx3,14$ donc $|\pi-4|-4<0$. Ainsi, \underline{$|\pi-4|=4-\pi$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exprimer sans valeur absolue}[1]
Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $|\pi^2-\pi|$
\item $|2\pi-\pi^2|$
\item $\left|7-\dfrac{1}{7}\right|$
\item $\left|\pi-\dfrac{1}{4}\right|$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\pi^2>\pi$ donc \underline{$|\pi^2-\pi|=\pi^2-\pi$}.

\item $\pi^2>2\pi$ donc $|2\pi-\pi^2|=-(2\pi-\pi^2)$, c'est-à-dire \underline{$|2\pi-\pi^2|=\pi^2-2\pi$}.

\item $7>\dfrac{1}{7}$ donc $7-\dfrac{1}{7}>0$. Ainsi, \underline{$\left|7-\dfrac{1}{7}\right|=7-\dfrac{1}{7}$}. Il n'était pas demandé de \textit{calculer}, mais nous aurions pu aussi écrire : $\left|7-\dfrac{1}{7}\right|=7-\dfrac{1}{7}=\dfrac{49}{7}-\dfrac{1}{7}=\boxed{\dfrac{48}{7}}$.

\item $\pi>\dfrac{1}{4}$ donc $\pi-\dfrac{1}{4}>0$. Ainsi, \underline{$\left|\pi-\dfrac{1}{4}\right|=\pi-\dfrac{1}{4}$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exprimer sans valeur absolue}[1]
Calculer:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|$
\item $\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right|$
\item $\left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right|$
\item $\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right|$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right| & = \left|\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\right|\\
& = \left|\dfrac{1}{6}\right|\\
\Aboxed{\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|& = \dfrac{1}{6}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right| & = \left|\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}\right|\\
& = \left|-\dfrac{2}{15}\right|\\
\Aboxed{\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right| &  = \dfrac{2}{15}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right| & = \left|\dfrac{4}{14}-\dfrac{49}{14}\right| \\
& = \left|-\dfrac{45}{14}\right| \\
\Aboxed{\left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right| & = \dfrac{45}{14}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right| & = \left|\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\right|\\
& = \left|\dfrac{4}{15}\right|\\
\Aboxed{\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right| & = \dfrac{4}{15}}
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{exprimer sans valeur absolue}[1]
Calculer:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\left|\sqrt2 - 4\right|$
\item $\left|2\sqrt3- \pi\right|$
\item $\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|$
\item $\left|\sqrt2-\sqrt3\right|$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt2<4$ donc $\sqrt2-4<0$. Ainsi, $\left|\sqrt2 - 4\right|=-(\sqrt2-4)$, soit \underline{$\left|\sqrt2 - 4\right|=4-\sqrt2$}.

\item $2\sqrt3\approx2\times1,732\approx3,4$ donc $2\sqrt3>\pi$ et donc $2\sqrt3-\pi>0$. Ainsi, \underline{$\left|2\sqrt3- \pi\right|=2\sqrt3-\pi$}.

\item $\sqrt7\approx 2,6$ et $\dfrac{2}{7}<1$ donc $\dfrac{2}{7}<\sqrt7$, d'où $\dfrac{2}{7}-\sqrt7<0$. Ainsi, $\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|=-\left(\dfrac{2}{7}-\pi\right)$, c'est-à-dire \underline{$\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|=\sqrt7-\dfrac{2}{7}$}.

\item $\sqrt2<\sqrt3$ donc $\sqrt2-\sqrt3<0$. Ainsi, \underline{$\left|\sqrt2-\sqrt3\right|=\sqrt3-\sqrt2$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\newpage

\begin{exocor}{exprimer sans valeur absolue}[1]
Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:
\begin{enumerate}
\item $\left|x + 4\right|$, où $x \in \intervFF{-10}{-5}$.
\item $\left|8-x\right|$, où $x\in\intervFF{2}{7}$.
\item $|2x-3|$, où $x\in\intervOO{2}{5}$.
\item $|7-5x|$, où $x\in\intervFF{5}{7}$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x \in \intervFF{-10}{-5}$ donc $x<-4$, d'où $x+4<0$. Ainsi, \underline{$|x+4|=-(x+4)$} ou encore \underline{$|x+4|=-x-4$}.

\item $x\in\intervFF{2}{7}$ donc $x<8$, d'où $8-x>0$. Ainsi, \underline{$|8-x|=8-x$}.

\item $x\in\intervFF{2}{5}$ donc $2 < x < 5$. En multipliant par 2, on obtient:
\[
4 < 2x < 10\]
et en soustrayant 3, on arrive a:
\[
4-3 < 2x-3 < 10-3\]
c'est-à-dire:
\[
1 < 2x-3 < 7.
\]
Ainsi, $2x-3>0$ et donc \underline{$|2x-3|=2x-3$}.

\item $\begin{aligned}[t]
x\in\intervFF{5}{7}& \iff 5 \leqslant x \leqslant 7\\
& \iff -5\times7 \leqslant -5x \leqslant -5\times5\\
& \iff -35 \leqslant -5x \leqslant -25\\
& \iff -35+7 \leqslant -5x+7 \leqslant-25+7\\
& \iff -28 \leqslant 7-5x \leqslant -18
\end{aligned}$

Ainsi, $7-5x<0$ et donc $|7-5x|=-(7-5x)$, soit \underline{$|7-5x|=5x-7$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation et inéquations}[1]
Résoudre dans \R les équations et inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $|x - 3| = 7$
\item $|x + 4| < 5$
\item $|x - 6| \geqslant 2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
|x - 3| = 7 & \iff x-3=7\qquad\text{ou}\qquad x-3=-7\\
& \iff x=10\qquad\text{ou}\qquad x=-4
\end{aligned}$

D'où \boxed{$S=\{-4;10\}$}

\item $\begin{aligned}[t]
|x + 4| < 5 & \iff x+4<5\qquad\text{ou}\qquad-(x+4)<5\\
& \iff x<5-4\qquad\text{ou}\qquad x+4>-5\\
& \iff x<1\qquad\text{ou}\qquad x>-9
\end{aligned}$

D'où $\boxed{S=\intervOO{-9}{1}}$

\begin{rem}
On pourrait aussi résoudre cette inéquation en disant que $|x+4|=|x-(-4)|$ représente la distance entre $x$ et $-4$. Donc $|x + 4| < 5$ signifie que la distance entre $x$ et $-4$ est strictement inférieure à 5, ce qui signifie que $x$ est compris entre $-4-5$ et $-4+5$, c'est-à-dire entre $-9$ et 1.
\end{rem}

\item $\begin{aligned}[t]
|x - 6| \geqslant 2 & \iff x-6\geqslant2\qquad\text{ou}\qquad -(x-6)\geqslant2\\
& \iff x \geqslant 2+6\qquad\text{ou}\qquad x-6 \leqslant -2\\
& \iff x \geqslant8\qquad\text{ou}\qquad x\leqslant4
\end{aligned}$

D'où $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{4} \cup \intervFF{8}{+\infty}}$

\begin{rem}
$|x - 6| \geqslant 2$ signifie que la distance entre $x$ et 6 doit être supérieure ou égale à 2 et donc que $x$ doit être supérieur ou égal à $6+2$ (donc à 8) ou inférieur ou égal à $6-2$ (donc à 4).
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation et inéquations}[1]
Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $|x + 8| = -1$
\item $|x -1| \leqslant 1$
\item $|x + 2| > 2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $|x + 8| = -1$ est impossible car une valeur absolue est toujours positives ou nulle.

Ainsi, \underline{$S=\varnothing$} (ensemble vide).

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
|x -1| \leqslant 1 & \iff x-1 \leqslant 1\qquad\text{ou}\qquad -(x-1)\leqslant1\\
& \iff x \leqslant 1+1\qquad\text{ou}\qquad x-1 \geqslant -1\\
& \iff x \leqslant 2 \qquad\text{ou}\qquad x \geqslant 0
\end{aligned}$

Donc $\boxed{S=\intervFF{0}{2}}$

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
|x + 2| > 2 & \iff x+2>2 \qquad\text{ou}\qquad  -(x+2) > 2\\
& \iff x > 2-2 \qquad\text{ou}\qquad  x+2 < -2\\
& \iff x>0 \qquad\text{ou}\qquad  x < -4
\end{aligned}$

D'où $\boxed{S = \intervOO{-\infty}{-4}\cup\intervOO{0}{+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation et inéquations}[1]
Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $|x - 7| = 3$
\item $|x - 4| \leqslant 8$
\item $|x + 7| \geqslant 3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
|x - 7| = 3 & \iff x-7=3\qquad\text{ou}\qquad -(x-7)=3\\
& \iff x=3+7 \qquad\text{ou}\qquad x-7=-3\\
& \iff x=10 \qquad\text{ou}\qquad x=4
\end{aligned}$

D'où $\boxed{S=\{4;10\}}$

\item $\begin{aligned}[t]
|x - 4| \leqslant 8 & \iff x-4 \leqslant 8 \qquad\text{ou}\qquad -(x-4) \leqslant8\\
& \iff x \leqslant 8+4 \qquad\text{ou}\qquad x-4 \geqslant-8\\
& \iff x \leqslant 12 \qquad\text{ou}\qquad x \geqslant-4
\end{aligned}$

Donc $\boxed{S=\intervFF{-4}{12}}$

\item $\begin{aligned}[t]
|x + 7| \geqslant 3 & \iff x+7 \geqslant3 \qquad\text{ou}\qquad -(x+7) \geqslant3\\
& \iff x \geqslant3-7 \qquad\text{ou}\qquad x+7 \leqslant -3\\
& \iff x \geqslant-4 \qquad\text{ou}\qquad x \leqslant-10
\end{aligned}$

D'où $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-10} \cup \intervFO{-4}{+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations et inéquation}[1]
Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $|x - \pi| = 2\pi$
\item $|x - 4| = \pi$
\item $|x + 1| > 2\pi$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
|x - \pi| = 2\pi & \iff x-\pi = 2\pi \qquad\text{ou}\qquad -(x-\pi)=2\pi\\
& \iff x=2\pi+\pi \qquad\text{ou}\qquad x-\pi=-2\pi\\
& \iff x = 3\pi \qquad\text{ou}\qquad x=-\pi.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{ Ainsi, }\boxed{S = \{-\pi;3\pi \}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
|x - 4| = \pi & \iff x-4=\pi \qquad\text{ou}\qquad -(x-4)=\pi\\
& \iff x=\pi+4\qquad\text{ou}\qquad x-4=-\pi\\
& \iff x=\pi+4 \qquad\text{ou}\qquad x = -\pi+4
\end{aligned}$

Donc $\boxed{S = \{4-\pi ; 4+\pi\} }$

\item $\begin{aligned}[t]
|x + 1| > 2\pi & \iff x+1>2\pi \qquad\text{ou}\qquad -(x+1)>2\pi\\
& \iff x>2\pi-1 \qquad\text{ou}\qquad x+1 < -2\pi\\
& \iff x>2\pi-1 \qquad\text{ou}\qquad x < -2\pi-1
\end{aligned}$

Ainsi, $\boxed{S = \intervOO{-\infty}{-2\pi-1} \cup \intervOO{2\pi-1}{+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{inéquations}[2]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $|x-8|\leqslant3$
\item $|x-7|<7$
\item $|x+4|\leqslant4$
\item $|2x-8|\leqslant10$
\item $|3x+9|<12$
\item $|7x-21|<14$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $|x-8|\leqslant3\iff x\in\intervFF{8-3}{8+3}\iff \underline{x\in\intervFF{5}{11}}$.

\item $|x-7|<7\iff x\in\intervOO{7-7}{7+7}\iff \underline{x\in\intervOO{0}{14}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
|x+4|\leqslant4 & \iff |x-(-4)|\leqslant4\\
& \iff x\in\intervFF{-4-4}{-4+4}\\
& \iff \underline{x\in\intervFF{-8}{0}}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
|2x-8|\leqslant10 & \iff |2(x-4)|\leqslant10\\
& \iff 2|x-4|\leqslant10\\
& \iff |x-4|\leqslant5\\
& \iff x\in\intervFF{4-5}{4+5}\\
& \iff \underline{x\in\intervFF{-1}{9}}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
|3x+9|<12 & \iff |3(x+3)| < 12\\
& \iff 3|x+3| < 12\\
& \iff |x+3| < 4\\
& \iff |x-(-3)|<4\\
& \iff x\in\intervOO{-3-4}{-3+4}\\
& \iff \underline{x\in\intervOO{-7}{1}}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
|7x-21|<14 &\iff 7|x-3| < 14\\
& \iff |x-3|<2\\
& \iff x\in\intervOO{3-2}{3+2}\\
& \iff \underline{x\in\intervOO{1}{5}}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Racines carrées}

%%%

\begin{exocor}{calculs simples}[1]
Compléter les égalités suivantes:
\begin{multicols}{5}
$\sqrt1=\ldots$

$\sqrt{16}=\ldots$

$\sqrt4=\ldots$

$\sqrt{81}=\ldots$

$\sqrt9=\ldots$

$\sqrt{100}=\ldots$

$\sqrt{36}=\ldots$

$\sqrt{49}=\ldots$

$\sqrt{25}=\ldots$

$\sqrt{64}=\ldots$
\end{multicols}

\tcblower

\begin{multicols}{5}
$\sqrt1=1$

$\sqrt{16}=4$

$\sqrt4=2$

$\sqrt{81}=9$

$\sqrt9=3$

$\sqrt{100}=10$

$\sqrt{36}=6$

$\sqrt{49}=7$

$\sqrt{25}=25$

$\sqrt{64}=8$
\end{multicols}

\begin{rem}
Il est très important de connaître ces valeurs.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{simplifications}[1]
Simplifier au maximum les racines carrées suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{175}$
\item $\sqrt{117}$
\item $\sqrt{48}$
\item $\sqrt{98}$
\item $\sqrt{44}$
\item $\sqrt{500}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{175}=\sqrt{25\times7}=\sqrt{25}\times\sqrt7=\underline{5\sqrt7}$.

\medskip

\item $\sqrt{117}=\sqrt{9\times13}=\sqrt9\times\sqrt{13}=\underline{3\sqrt{13}}$.

\medskip

\item $\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{16}\times\sqrt3=\underline{4\sqrt3}$.

\medskip

\item $\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt2=\underline{7\sqrt2}$.

\medskip

\item $\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=\sqrt4\times\sqrt{11}=\underline{2\sqrt{11}}$.

\medskip

\item $\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=\sqrt{100}\times\sqrt5=\underline{10\sqrt5}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{simplifications}[1]
Simplifier les radicaux suivants de sorte que les résultats finaux soient sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a\in\Q$ et $b\in\N$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\sqrt{\dfrac{50}{49}}$
\item $\sqrt{\dfrac{75}{36}}$
\item $\sqrt{\dfrac{128}{25}}$
\item $\sqrt{\dfrac{48}{735}}$
\item $\sqrt{\dfrac{343}{448}}$
\item $\sqrt{\dfrac{320}{150}}$
\item $\sqrt{\dfrac{114}{78}}$
\item $\sqrt{\dfrac{\numprint{1575}}{224}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{\dfrac{50}{49}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{7}=\boxed{\dfrac{5}{7}\sqrt2}$.

\item $\sqrt{\dfrac{75}{36}}=\dfrac{\sqrt{25\times3}}{\sqrt{36}}=\boxed{\dfrac{5}{6}\sqrt3}$.

\item $\sqrt{\dfrac{128}{25}}=\dfrac{\sqrt{64\times2}}{\sqrt{25}}=\boxed{\dfrac{8}{5}\sqrt2}$.

\item $\sqrt{\dfrac{48}{735}}=\dfrac{\sqrt{16\times3}}{\sqrt{49\times15}}=\dfrac{4\sqrt3}{7\sqrt{15}}$. 

On ne peut pas s'arrêter à ce dernier résultat car il n'est pas sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a\in\Q$ et $b\in\N$. 

\begin{rem}
Quand on a un radical au dénominateur d'une fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce radical afin d'avoir un nombre entier au dénominateur.
\end{rem}

On a donc :
\[
\sqrt{\dfrac{48}{735}}=\dfrac{4\sqrt3\textcolor{red}{\times\sqrt{15}}}{7\sqrt{15}\textcolor{red}{\times\sqrt{15}}}=\dfrac{4\sqrt{45}}{7\times15}=\dfrac{4\sqrt{9\times5}}{7\times3\times5}=\dfrac{4\times\cancel{3}\sqrt5}{7\times\cancel{3}\times5}=\boxed{\dfrac{4\sqrt5}{35}}
\]

\begin{rem}
On peut aussi simplifier le radicande avant de simplifier le radical:
\[
\sqrt{\dfrac{48}{735}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{3}\times16}{\cancel{3}\times245}}=\dfrac{4}{7\sqrt5}\times\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{35}.
\]
\end{rem}

\item $\sqrt{\dfrac{343}{448}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{7}\times49}{\cancel{7}\times64}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\boxed{\dfrac{7}{8}}$.

\item $\sqrt{\dfrac{320}{150}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{10}\times32}{\cancel{10}\times15}}=\dfrac{\sqrt{16\times2}}{\sqrt{15}}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt{15}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}}=\boxed{\dfrac{4}{15}\sqrt{30}}$.

\item $\sqrt{\dfrac{114}{78}}=\sqrt{\dfrac{19}{13}}=\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{13}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}}=\boxed{\dfrac{1}{13}\sqrt{247}}$.

\item $\sqrt{\dfrac{\numprint{1575}}{224}}=\sqrt{\dfrac{9\times25\times\cancel{7}}{16\times\cancel{7}\times2}}=\dfrac{3\times5}{4\sqrt{2}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}=\boxed{\dfrac{15}{8}\sqrt2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{développements}[1]
Développer les expressions suivantes de sorte à obtenir une expression de la forme $a+b\sqrt{n}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, et $n$ un entier naturel.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\big(5+\sqrt3\big)^2$
\item $\big(7-\sqrt2\big)^2$
\item $\big(-1+2\sqrt7\big)^2$
\item $\big(-3-4\sqrt2\big)^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-2em}

\tcblower

Pour cet exercice, il faut se souvenir des identités remarquables:
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad\text{et}\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
\]
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\big(5+\sqrt3\big)^2 & = 5^2 + 2\times5\times\sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\
& = 25 + 10\sqrt3 + 3\\
& = \underline{28 + 10\sqrt3}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\big(7-\sqrt2\big)^2 & = 7^2 - 2\times7\times\sqrt2 + \big(\sqrt2\big)^2\\
& = 49 - 14\sqrt2 + 2\\
& = \underline{51 - 14\sqrt2}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\big(-1+2\sqrt7\big)^2 & = (-1)^2 + 2\times(-1)\times2\sqrt7 + \big(2\sqrt7\big)^2\\
& = 1 - 4\sqrt7 + 2^2\big(\sqrt7\big)^2\\
& = 1 - 4\sqrt7 + 4\times7\\
& = 1 - 4\sqrt7 + 28\\
& = \underline{29 - 4\sqrt7}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\big(-3-4\sqrt2\big)^2 & = \big[(-1)(3+4\sqrt2)\big]^2\\
& = (-1)^2\big(3+4\sqrt2\big)^2\\
& = \big(3+4\sqrt2\big)^2\\
& = 3^2 + 2\times3\times4\sqrt2 + \big(4\sqrt2\big)^2\\
& = 9 + 24\sqrt2 + 4^2\big(\sqrt2)^2\\
& = 9 + 24\sqrt2+16\times2
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
& = 9 + 24\sqrt2 + 32\\
& = \underline{41 + 24\sqrt2}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{expressions conjuguées}[2]
On appelle \textit{expression conjuguée} de $a+b\sqrt{n}$ le nombre $a-b\sqrt{n}$.

En utilisant l'expression conjuguée du dénominateur, écrire les fractions suivantes de sorte qu'il n'y ait plus de racine carrée au dénominateur.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{5}{1+\sqrt2}$
\item $\dfrac{8}{3-\sqrt7}$
\item $\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}$
\item $\dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{5}{1+\sqrt2} & = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{\big(1+\sqrt2\big)\big(1-\sqrt2\big)} = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1^2 - \big(\sqrt2\big)^2} = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1-2}\\
& = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{-1} = \boxed{-5\big(1-\sqrt2\big)}.
\end{aligned}$

\begin{rem}
L'intérêt de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression conjuguée de son dénominateur est de faire apparaître en bas (au dénominateur) une identité de la forme $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, qui supprime la racine carrée (en élevant au carré), rendant ainsi le dénominateur entier.
\end{rem}

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{8}{3-\sqrt7} & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{\big(3-\sqrt7\big)\big(3+\sqrt7\big)}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{3^2 - \big(\sqrt7\big)^2}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{9-7}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{2}\\
\Aboxed{\dfrac{8}{3-\sqrt7} & = 4\big(3 + \sqrt7\big)}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}{\big(1+\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1^2 - \big(\sqrt3\big)^2}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1-3}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{-2}\\
& = \dfrac{1^2 - 2\times1\times\sqrt3+\big(\sqrt3\big)^2}{-2}\\
& = \dfrac{1-2\sqrt3+3}{-2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
& = \dfrac{4-2\sqrt3}{-2}\\
& = \dfrac{-2(-2+\sqrt3)}{-2}\\
\Aboxed{\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = -2+\sqrt3}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2} & = \dfrac{\big(5+2\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}{\big(3-\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}\\
& = \dfrac{5\times3 + 5\times\sqrt2 + 2\sqrt2\times3 + 2\sqrt2\times\sqrt2}{3^2 - \big(\sqrt2\big)^2}\\
& = \dfrac{15+5\sqrt2+6\sqrt2+4)}{9-2} = \boxed{\dfrac{19+11\sqrt2}{7}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{écritures plus simples}[3]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $\big(7 - 3\sqrt2\big)^2$ sous la forme $a+b\sqrt2$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
\item Quel est le signe de $7-3\sqrt2$ ?
\item En déduire une autre écriture du nombre $\sqrt{67-42\sqrt2}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $\big(1 - 5\sqrt3\big)^2$ sous la forme $a+b\sqrt2$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
\item Quel est le signe de $1-5\sqrt3$ ?
\item En déduire une autre écriture du nombre $\sqrt{76-10\sqrt3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item\label{ihejkrhih} Pour développer $\big(7 - 3\sqrt2\big)^2$, on utilise l'identité remarquable:
\[
(a-b)^2 = a^2-2ab + b^2
\]
en prenant $a=7$ et $b=3\sqrt2$, ce qui donne:
\begin{align*}
\big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 7^2 - 2 \times 7 \times 3\sqrt2 + \big(3\sqrt2)^2\\
& = 49 - 42\sqrt2 + 3^2\big(\sqrt2\big)^2\\
& = 49-42\sqrt2+9\times2\\
& = 49-42\sqrt2+18\\
\Aboxed{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 67 - 42\sqrt2}
\end{align*}

\item On cherche à trouver le signe de $7-3\sqrt2$.

On sait que $2 < 4$ donc $\sqrt2 < \sqrt4$, c'est-à-dire $\sqrt2 < 2$. En multipliant par $-3$, on obtient:
\[
-3\sqrt2 > -3\times2\qquad\text{soit}\qquad -3\sqrt2 > -6
\]
et en ajoutant 7, on arrive à:
\[
7-3\sqrt2 > 1
\]
donc $7-3\sqrt2 > 0$.

\item Du calcul de la question \ref{ihejkrhih}, on déduit:
\[
\sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2} = \sqrt{67 - 42\sqrt2}
\]
Or, $7-3\sqrt2 > 0$ donc $\sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2}=7-3\sqrt2$.

Finalement, on obtient:
\[
\boxed{\sqrt{67 - 42\sqrt2} = 7-3\sqrt2}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \label{jesehggjkbieh}On a:
\begin{align*}
\big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 1^2 - 2 \times 1 \times 5\sqrt3 + \big(5\sqrt3\big)^2\\
& = 1-10\sqrt3 + 25\times3\\
\Aboxed{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 76 - 10\sqrt3}
\end{align*}

\item Il est assez flagrant que $5\sqrt3 > 1$ donc $1-5\sqrt3 < 0$.

\item De la question \ref{jesehggjkbieh}, on déduit:
\[
\sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2} = \sqrt{76 - 10\sqrt3}
\]
Or, $1-5\sqrt3<0$ donc $\sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2}=|1-5\sqrt3|=5\sqrt3-1$. Ainsi,
\[
\boxed{5\sqrt3-1 = \sqrt{76 - 10\sqrt3}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{simplifications}[2]
Décomposer en produit de facteurs premiers les radicandes des racines carrées suivantes (c'est-à-dire les nombres sous la racine carrée), puis en déduire leur écriture simplifiée.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{392}$
\item $\sqrt{\numprint{4608}}$
\item $\sqrt{\numprint{8820}}$
\item $\sqrt{\numprint{111132}}$
\item $\sqrt{\numprint{6272}}$
\item $\sqrt{\numprint{13552}}$
\item $\sqrt{\numprint{5010005}}$
\item $\sqrt{\numprint{27783}}$
\item $\sqrt{\numprint{226800}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{392}=\sqrt{2^2\times7^2\times2}=2\times7\times\sqrt2=\underline{14\sqrt2}$.

\item $\sqrt{\numprint{4608}}=\sqrt{2^9\times3^2}=\sqrt{2^8\times3^2\times2^1}=2^4\times3\times\sqrt2=\underline{48\sqrt2}$.

\item $\sqrt{\numprint{8820}}=\sqrt{2^2\times3^2\times7^2\times5}=2\times3\times7\times\sqrt5=\underline{42\sqrt5}$.

\item $\sqrt{\numprint{111132}}=\sqrt{2^2\times3^4\times7^3}=2\times3^2\times7\sqrt7=\underline{126\sqrt7}$.

\item $\sqrt{\numprint{6272}}=\sqrt{2^7\times7^2}=2^3\times7\sqrt2=\underline{56\sqrt2}$.

\item $\sqrt{\numprint{13552}}=\sqrt{2^4\times7\times11^2}=2^2\times11\sqrt7=\underline{44\sqrt7}$.

\item $\sqrt{\numprint{5010005}}=\sqrt{5\times7^2\times11^2\times13^2}=7\times11\times13\sqrt5=\underline{\numprint{1001}\sqrt5}$.

\item $\sqrt{\numprint{27783}}=\sqrt{3^4\times7^3}=3^2\times7\sqrt7=\underline{63\sqrt7}$.

\item $\sqrt{\numprint{226800}}=\sqrt{2^4\times3^4\times5^2\times7}=2^2\times3^2\times5\sqrt7=\underline{180\sqrt7}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Union et intersections d'intervalles}

\begin{exocor}{}[2]
Pour chacun des intervalles $I$ et $J$ suivants, décrire $I \cap J$ et $I \cup J$ de la manière la plus simple possible.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$
\item $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$
\item $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$
\item $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$
\item $I=\intervFO{7}{+\infty}$ et $J=\intervFO{-5}{+\infty}$
\item $I=\intervOF{3}{18}$ et $J=\intervOF{17}{20}$
\item $I=\intervFF{-3}{0}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$
\item $I=\intervFO{-2}{0}$ et $J=\intervFO{0}{+\infty}$
\item $I=\intervOO{7}{18}$ et $J=\intervFO{10}{+\infty}$
\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervFF{2}{5}$
\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$
\item $I=\intervFO{-3}{+\infty}$ et $J=\intervOO{-5}{+\infty}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -5,0) -- (9,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-3,0) -- (7,0);
\draw[thick] (-3.1,0.1) -- (-3.0,0.1) -- (-3.0,-0.1) -- (-3.1,-0.1);
\draw[thick] (6.9,0.1) -- (7.0,0.1) -- (7.0,-0.1) -- (6.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-3,0) {$-3$};
\node[below,inner sep=3mm] at (7,0) {$7$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-1,-0.03) -- (9,-0.03);
\draw[thick] (-0.9,0.1) -- (-1.0,0.1) -- (-1.0,-0.1) -- (-0.9,-0.1);
\draw[thick] (9.1,0.1) -- (9.0,0.1) -- (9.0,-0.1) -- (9.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-1,0) {$-1$};
\node[below,inner sep=3mm] at (9,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFF{-1}{7}$ et $I \cup J = \intervOO{-3}{+\infty}$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( 2,0) -- (12,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (2,0) -- (4,0);
\draw[thick] (1.9,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (1.9,-0.1);
\draw[thick] (4.1,0.1) -- (4.0,0.1) -- (4.0,-0.1) -- (4.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$-\infty$};
\node[below,inner sep=3mm] at (4,0) {$4$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (4,-0.03) -- (10,-0.03);
\draw[thick] (4.1,0.1) -- (4.0,0.1) -- (4.0,-0.1) -- (4.1,-0.1);
\draw[thick] (9.9,0.1) -- (10.0,0.1) -- (10.0,-0.1) -- (9.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (4,0) {$4$};
\node[below,inner sep=3mm] at (10,0) {$10$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOF{-\infty}{10}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$

\begin{tikzpicture}[scale=0.7142857142857143, every node/.style={scale=0.7142857142857143}]
\draw[->,>=latex] ( -12,0) -- (9,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-10,0) -- (2,0);
\draw[thick] (-9.9,0.1) -- (-10.0,0.1) -- (-10.0,-0.1) -- (-9.9,-0.1);
\draw[thick] (1.9,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (1.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-10,0) {$-10$};
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$2$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-3,-0.03) -- (7,-0.03);
\draw[thick] (-2.9,0.1) -- (-3.0,0.1) -- (-3.0,-0.1) -- (-2.9,-0.1);
\draw[thick] (6.9,0.1) -- (7.0,0.1) -- (7.0,-0.1) -- (6.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-3,0) {$-3$};
\node[below,inner sep=3mm] at (7,0) {$7$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFF{-3}{2}$ et $I \cup J = \intervFF{-10}{7}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$ % 4

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -8,0) -- (5,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-8,0) -- (3,0);
\draw[thick] (-8.1,0.1) -- (-8.0,0.1) -- (-8.0,-0.1) -- (-8.1,-0.1);
\draw[thick] (2.9,0.1) -- (3.0,0.1) -- (3.0,-0.1) -- (2.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-8,0) {$-\infty$};
\node[below,inner sep=3mm] at (3,0) {$3$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-6,-0.03) -- (5,-0.03);
\draw[thick] (-5.9,0.1) -- (-6.0,0.1) -- (-6.0,-0.1) -- (-5.9,-0.1);
\draw[thick] (5.1,0.1) -- (5.0,0.1) -- (5.0,-0.1) -- (5.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-6,0) {$-6$};
\node[below,inner sep=3mm] at (5,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFF{-6}{3}$ et $I \cup J = \R$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervFO{7}{+\infty}$ et $J=\intervFO{-5}{+\infty}$ % 5

\begin{tikzpicture}[scale=0.9375, every node/.style={scale=0.9375}]
\draw[->,>=latex] ( -7,0) -- (9,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (7,0) -- (9,0);
\draw[thick] (7.1,0.1) -- (7.0,0.1) -- (7.0,-0.1) -- (7.1,-0.1);
\draw[thick] (9.1,0.1) -- (9.0,0.1) -- (9.0,-0.1) -- (9.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (7,0) {$7$};
\node[below,inner sep=3mm] at (9,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-5,-0.03) -- (9,-0.03);
\draw[thick] (-4.9,0.1) -- (-5.0,0.1) -- (-5.0,-0.1) -- (-4.9,-0.1);
\draw[thick] (9.1,0.1) -- (9.0,0.1) -- (9.0,-0.1) -- (9.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-5,0) {$-5$};
\node[below,inner sep=3mm] at (9,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFO{7}{+\infty}$ et $I \cup J = \intervFO{-5}{+\infty}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOF{3}{18}$ et $J=\intervOF{17}{20}$ % 6

\begin{tikzpicture}[scale=0.7142857142857143, every node/.style={scale=0.7142857142857143}]
\draw[->,>=latex] ( 1,0) -- (22,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (3,0) -- (18,0);
\draw[thick] (2.9,0.1) -- (3.0,0.1) -- (3.0,-0.1) -- (2.9,-0.1);
\draw[thick] (17.9,0.1) -- (18.0,0.1) -- (18.0,-0.1) -- (17.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (3,0) {$3$};
\node[below,inner sep=3mm] at (18,0) {$18$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (17,-0.03) -- (20,-0.03);
\draw[thick] (16.9,0.1) -- (17.0,0.1) -- (17.0,-0.1) -- (16.9,-0.1);
\draw[thick] (19.9,0.1) -- (20.0,0.1) -- (20.0,-0.1) -- (19.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (17,0) {$17$};
\node[below,inner sep=3mm] at (20,0) {$20$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervOF{17}{18}$ et $I \cup J = \intervOF{3}{20}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervFF{-3}{0}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$ % 7

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -5,0) -- (2,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-3,0) -- (0,0);
\draw[thick] (-2.9,0.1) -- (-3.0,0.1) -- (-3.0,-0.1) -- (-2.9,-0.1);
\draw[thick] (-0.1,0.1) -- (0.0,0.1) -- (0.0,-0.1) -- (-0.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-3,0) {$-3$};
\node[below,inner sep=3mm] at (0,0) {$0$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-1,-0.03) -- (2,-0.03);
\draw[thick] (-0.9,0.1) -- (-1.0,0.1) -- (-1.0,-0.1) -- (-0.9,-0.1);
\draw[thick] (2.1,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (2.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-1,0) {$-1$};
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFF{-1}{0}$ et $I \cup J = \intervFO{-3}{+\infty}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervFO{-2}{0}$ et $J=\intervFO{0}{+\infty}$ % 8

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -4,0) -- (2,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-2,0) -- (0,0);
\draw[thick] (-1.9,0.1) -- (-2.0,0.1) -- (-2.0,-0.1) -- (-1.9,-0.1);
\draw[thick] (0.1,0.1) -- (0.0,0.1) -- (0.0,-0.1) -- (0.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-2,0) {$-2$};
\node[below,inner sep=3mm] at (0,0) {$0$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (0,-0.03) -- (2,-0.03);
\draw[thick] (0.1,0.1) -- (0.0,0.1) -- (0.0,-0.1) -- (0.1,-0.1);
\draw[thick] (2.1,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (2.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (0,0) {$0$};
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervFO{-2}{+\infty}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOO{7}{18}$ et $J=\intervFO{10}{+\infty}$ %9

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( 5,0) -- (20,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (7,0) -- (18,0);
\draw[thick] (6.9,0.1) -- (7.0,0.1) -- (7.0,-0.1) -- (6.9,-0.1);
\draw[thick] (18.1,0.1) -- (18.0,0.1) -- (18.0,-0.1) -- (18.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (7,0) {$7$};
\node[below,inner sep=3mm] at (18,0) {$18$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (10,-0.03) -- (20,-0.03);
\draw[thick] (10.1,0.1) -- (10.0,0.1) -- (10.0,-0.1) -- (10.1,-0.1);
\draw[thick] (20.1,0.1) -- (20.0,0.1) -- (20.0,-0.1) -- (20.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (10,0) {$10$};
\node[below,inner sep=3mm] at (20,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFO{10}{18}$ et $I \cup J = \intervOO{7}{+\infty}$.

%%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervFF{2}{5}$ % 10

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -6,0) -- (7,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-4,0) -- (2,0);
\draw[thick] (-4.1,0.1) -- (-4.0,0.1) -- (-4.0,-0.1) -- (-4.1,-0.1);
\draw[thick] (2.1,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (2.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-4,0) {$-4$};
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$2$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (2,-0.03) -- (5,-0.03);
\draw[thick] (2.1,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (2.1,-0.1);
\draw[thick] (4.9,0.1) -- (5.0,0.1) -- (5.0,-0.1) -- (4.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$2$};
\node[below,inner sep=3mm] at (5,0) {$5$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOF{-4}{5}$.

%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$ % 11

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -6,0) -- (7,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-4,0) -- (2,0);
\draw[thick] (-4.1,0.1) -- (-4.0,0.1) -- (-4.0,-0.1) -- (-4.1,-0.1);
\draw[thick] (2.1,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (2.1,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-4,0) {$-4$};
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$2$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (2,-0.03) -- (5,-0.03);
\draw[thick] (1.9,0.1) -- (2.0,0.1) -- (2.0,-0.1) -- (1.9,-0.1);
\draw[thick] (4.9,0.1) -- (5.0,0.1) -- (5.0,-0.1) -- (4.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (2,0) {$2$};
\node[below,inner sep=3mm] at (5,0) {$5$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOO{-4}{2} \cup \intervOF{2}{5}$.

%%%%%%%%%%%%%%

\item $I=\intervFO{-3}{+\infty}$ et $J=\intervOO{-5}{+\infty}$ %12

\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw[->,>=latex] ( -7,0) -- (-1,0);
\begin{scope}[draw=blue]
\draw[thick] (-3,0) -- (-1,0);
\draw[thick] (-2.9,0.1) -- (-3.0,0.1) -- (-3.0,-0.1) -- (-2.9,-0.1);
\draw[thick] (-0.9,0.1) -- (-1.0,0.1) -- (-1.0,-0.1) -- (-0.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-3,0) {$-3$};
\node[below,inner sep=3mm] at (-1,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\begin{scope}[draw=red]
\draw[thick] (-5,-0.03) -- (-1,-0.03);
\draw[thick] (-5.1,0.1) -- (-5.0,0.1) -- (-5.0,-0.1) -- (-5.1,-0.1);
\draw[thick] (-0.9,0.1) -- (-1.0,0.1) -- (-1.0,-0.1) -- (-0.9,-0.1);
\node[below,inner sep=3mm] at (-5,0) {$-5$};
\node[below,inner sep=3mm] at (-1,0) {$+\infty$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

Donc $I \cap J = \intervFO{-3}{+\infty}$ et $I \cup J = \intervOO{-5}{+\infty}$.

\end{enumerate}
\end{exocor}

\corriges
