\chapter{Calcul littéral}

\newpage

\section{Puissances à exposants relatifs}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soient $x$ un nombre réel.

On appelle communément \textbf{puissance de $\pmb{x}$} tout nombre s'écrivant sous la forme $x^n$, où $n$ est un entier relatif.
\end{defin}

\begin{rem}
En réalité, on devrait définir tout nombre s'écrivant $x^n$ comme une puissance \textit{d'exposant entier}, mais c'est un peu long, on préfère raccourcir en \textit{puissance de $x$}.
\end{rem}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item \numprint{1024} est une puissance de 2 car $\numprint{
1024}=2^{10}$.
\item $\dfrac{1}{27}$ est une puissance de 3 car $\dfrac{1}{27}=\dfrac{1}{3^3}=3^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Propriétés algébriques}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Soient $m$ et $n$ deux entiers relatifs. Alors:
\begin{enumerate}
\item $a^n \times a^m = a^{n+m}$
\item $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
\item $\big(a^n\big)^m=a^{n \times m}$
\item $(ab)^n=a^n \times b^n$
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $5^3 \times 5^{-7} = 5^{3-7}=5^{-4}=\dfrac{1}{5^4}$.
\item $\dfrac{7^8}{7^5}=7^{8-5}=7^3$.
\item $\big(2^7\big)^3=2^{7\times3}=2^{21}$.
\item $15^3=(3\times5)^3=3^3 \times 5^3$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\newpage
\section{Identités remarquables}

\begin{prop}[identités remarquables]
Pour tous nombres réels $a$ et $b$,
\begin{enumerate}
\item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
\item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
\item $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{rem}
Ces égalités sont à connaître par c\oe ur.
\end{rem}

\begin{exemple}[développements]
\begin{enumerate}
\item $(3x+4)^2=(3x)^2+2\times4\times3x+4^2=9x^2+24x+16$.
\item $(5-3x)^2=5^2-2\times5\times3x+(3x)^2=25-30x-9x^2$.
\item $(8x-7)(8x+7)=(8x)^2-7^2=64x^2-49$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{exemple}[factorisations]
\begin{enumerate}
\item $4x^2+4x+1=(2x)^2 + 2 \times 1 \times 2x + 1^2 = (2x+1)^2$.
\item $100-80x+16x^2=10^2 - 2 \times 10 \times 4x + (4x)^2 = (10 - 4x)^2$.
\item $49x^2-25 = (7x)^2 - 5^5 = (7x-5)(7x+5)$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{demo}[$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,purple] (0,0) rectangle +(4,4);
\filldraw[pattern=north east lines,pattern color=blue] (0,0) rectangle +(1,1);
\filldraw[pattern=north west lines,pattern color=red] (1,1) rectangle +(3,3);
\filldraw[pattern=fivepointed stars,pattern color=green!50!black] (0,1) rectangle +(1,3);
\filldraw[pattern=fivepointed stars,pattern color=green!50!black] (1,0) rectangle +(3,1);
\draw[<->,>=latex] (0,-0.5) -- (1,-0.5) node[midway,below] {$a$};
\draw[<->,>=latex] (1,-0.5) -- (4,-0.5) node[midway,below] {$b$};
\draw[<->,>=latex] (4.5,0) -- (4.5,4) node[midway,rotate=90,below] {$a+b$};
\draw[<->,>=latex] (-.5,0) -- (-0.5,1) node[midway,rotate=90,above] {$a$};
\draw[<->,>=latex] (-.5,1) -- (-0.5,4) node[midway,rotate=90,above] {$b$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le grand carré blue a pour dimension $a+b$; son aire est donc égale à $(a+b)^2$.

\medskip

Ce grand carré est constitué de deux carrés de côtés $a$ et $b$, donc d'aires $a^2$ et $b^2$, ainsi que de deux rectangles identiques de dimensions $a \times b$, donc d'aire $ab$.

\medskip

L'aire totale est donc égale à : $a^2 + b^2 + 2ab$.

Les deux expressions $(a+b)^2$ et $a^2+b^b+2ab$ représentant la même aire, elle sont nécessairement égales.
\end{demo}

\newpage
\section{Expressions fractionnaires}

\begin{prop}
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres relatifs non nuls. Alors,
\[
\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{align*}
\dfrac{2}{x+8}-\dfrac{3x+1}{2x-7} & = \dfrac{2(2x-7)-(3x+1)(x+8)}{(x+8)(2x-7)}\\
& = \dfrac{4x-14-(3x^2+24x+x+8)}{(x+8)(2x-7)}\\
& = \dfrac{4x-14-3x^2-24x-x-8}{2x^2-7x+16x-56}\\
& = \dfrac{-3x^2-21x-22}{2x^2+9x-56}.
\end{align*}
\end{exemple}

\section{Propriétés sur les inégalités}

\subsection{Conservation de l'ordre par addition}

\begin{prop}
Soient $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels.
\[
a < b \iff a+k < b+k.
\] 
\end{prop}

On peut se servir de cette propriété pour résoudre des inéquations.

\begin{exemple}
$\begin{aligned}[t]
x+3<2x-8 & \iff x+3\textcolor{red}{-x}<2x-8\textcolor{red}{-x}\\
& \iff 3<x-8\\
&\iff 3\textcolor{blue}{+8}<x-8\textcolor{blue}{+8}\\
& \iff 11<x
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution de toutes les valeurs de $x$ telles que $x+3<2x-8$ est donc l'ensemble des valeurs de $x$ qui sont strictement plus grandes que 11. 

On note en général cet ensemble $S$ :
\[
S = \intervOO{11}{+\infty}.
\]
\end{exemple}

\subsection{Produit d'une inégalité par un réel}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
\begin{itemize}
\item Si $k>0$ alors $ka < kb$ et $\dfrac{a}{k} < \dfrac{b}{k}$.
\item Si $k>0$ alors $ka > kb$ et $\dfrac{a}{k} > \dfrac{b}{k}$.
\end{itemize}
\end{prop}


\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
2x > 6 & \iff \dfrac{2x}{2} > \dfrac{6}{2}\text{ (on n'inverse pas le signe car on divise par un positif)}\\
& \iff x > 3.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
-5x > 15 & \iff \dfrac{-5x}{-5} {\color{red}\pmb{<}} \dfrac{15}{-5}\text{ (on inverse le signe car on divise par un négatif)}\\
& \iff x < -3.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{rem}
Autrement dit, on change l'inégalité quand on la multiplie ou divise par un nombre négatif.
\end{rem}

\subsection{Somme de deux inégalités}

\begin{prop}
Soient $a$, $b$, $m$ et $n$ quatre nombres réels. 
\[
\text{si }a<b\text{ et }m<n\quad\text{alors}\quad a+m<b+n.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
On sait que $x+5<12$ et que $2x-1<4$ donc :
\[
(x+5)+(2x-1) < 12+4
\]
et donc:
\[
3x+4 < 16\qquad\text{soit}\qquad 3x < 12\quad\text{donc}\quad x < 4.
\]
\end{exemple}

\begin{attention}
La réciproque n'est pas nécessairement vraie : si $a+m<b+n$ alors on n'a pas toujours $a<b$ et $m<n$.


De plus, la propriété n'est plus vraie si on soustrait.
\end{attention}

\subsection{Inégalité sur racines carrées}

\begin{prop}[inégalité sur les racines carrées]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. Alors,
\[
\sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
On a d'une part $\big(\sqrt{a+b}\big)^2=a+b$ et d'autre part $\big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\big)^2=a+2\sqrt{ab}+b > a+b$, donc:
\[
\big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\big)^2 > \big(\sqrt{a+b}\big)^2
\]
et comme $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $\sqrt{a+b}$ sont deux nombres positifs, cela signifie que : \[\sqrt{a}+\sqrt{b} > \sqrt{a+b}.\]
\end{demo}

\exercices


\subsection*{Manipulation d'expressions algébriques}

%%% 

\begin{exocor}{}[1]
La distance $d$, exprimée en mètres, parcourue par un objet est égale au produit de sa vitesse $v$ (exprimée en $\rm m\cdot s^{-1}$, soit en mètres par seconde) et du temps $t$ du trajet (exprimé en secondes).
\begin{enumerate}
\item Calculer la distance parcourue par un objet allant à 50 $\rm m\cdot s^{-1}$ en 5 secondes.
\item Calculer le temps nécessaire pour qu'un objet allant à 80$\rm km\cdot h^{-1}$ parcourt une distance de 10 km.
\item Calculer la vitesse (en $\rm m\cdot s^{-1}$) d'un objet parcourant 10 km en 5 minutes.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
d=v \times t & \iff d = 50 \times 5\\
& \iff \underline{d = 250\text{ m}.}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
v = d \times t & \iff t = \dfrac{v}{d}\\
& \iff t = \dfrac{80}{10}\\
& \iff \underline{t=8\text{ h}.}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
d = v \times t & \iff v = \dfrac{d}{t}\\
& \iff v = \dfrac{\numprint{10000}\text{ m}}{5\times60\text{ s}}\\
& \iff \underline{v \approx 33,33\rm m\cdot s^{-1}.}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{conversions Celsius-Fahrenheit}[1]
Quand on connaît une température en degrés Celsius $C$ et que l'on souhaite connaître son équivalent en degrés Fahrenheit $F$, on utilise la formule suivante : $F=\dfrac{9}{5}C+32$.

\medskip

Déterminer la formule pour passer des degrés Fahrenheit aux degrés Celsius.

\tcblower

$\begin{aligned}[t]
F=\dfrac{9}{5}C+32 & \iff F-32 = \dfrac{9}{5}C\\
& \iff \textcolor{red}{\dfrac{5}{9}\times}(F-32)=\textcolor{red}{\dfrac{5}{9}\times}\dfrac{9}{5}C\text{\small (on multiplie par l'inverse de $\dfrac{9}{5}$ pour supprimer cette fraction)}\\
& \iff \boxed{C=\dfrac{5}{9}(F-32)}
\end{aligned}$
\vspace*{1cm}~
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{IMC}[2]
L'Indice de Masse Corporelle (IMC) d'une personne est donné par la formule: $IMC=\dfrac{m}{T^2}$, où $m$ est la masse (exprimée en kg) et $T$ la taille (en mètres).

Calculer la taille d'une personne dont l'IMC est égal à 32 et dont la masse est égale à 75 kg.

\tcblower

$\begin{aligned}[t]
IMC = \dfrac{p}{T^2} & \iff 32=\dfrac{75}{T^2}\\
& \iff T^2 \times 32= 75\text{ (égalité des produits en croix)}\\
& \iff T^2 = \dfrac{75}{32}\\
& \iff T = \sqrt{\dfrac{75}{32}}\\
& \iff \boxed{T\approx1,53}
\end{aligned}$

\underline{La personne mesure donc environ 1,53 mètres.}

\begin{rem}
Chez les adultes, l'IMC devrait être compris entre 18,5 et 25. Au-delà, la personne est définie comme en \textit{surpoids} (ou en \textit{obésité} si l'IMC dépasse 30). Pour un IMC en-dessous de 18,5, la personne est définie comme en \textit{insuffisance pondérale} (maigreur).
\end{rem}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{volume d'un cylindre}[2]
On sait que le volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de base circulaire de rayon $r$ est donné par la formule $\mathcal{V}=\pi r^2 h$.

\medskip

Donner la formule permettant de calculer le rayon de la base quand on connait le volume et le hauteur du cylindre.

\tcblower

\begin{align*}
\mathcal{V}=\pi r^2 h & \iff \dfrac{\mathcal{V}}{\pi h}=r^2\\
& \iff \boxed{r = \sqrt{\dfrac{\mathcal{V}}{\pi h}}}
\end{align*}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation cartésienne}[2]
Soient $a$, $b$, $c$, $x$ et $y$ cinq nombres réels, avec $b\neq0$.

Sachant que $ax+by+c=0$, exprimer $y$ en fonction des quatre autres nombres.

\tcblower

\begin{align*}
ax+by+c=0 & \iff by = -ax-c\\
& \iff \boxed{y = \dfrac{-ax-c}{b}}
\end{align*}
\end{exocor}


\subsection*{Développements}

%%% 

\begin{exocor}{double distributivité}[1]
Développer les expressions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=(x+2)(x+3)$
\item $B=(3x+2)(5x+3)$
\item $C=(3-5x)(2x-7)$
\item $D=(5x-4)(-3x-2)$
\item $E=(4x-1)(2x+4)+(2x-1)(5x+3)$
\item $F=(x-4)(x+3)-2(x+1)(x-2)$
\item $G=(x+5)(2x-1)-5(x+7)(x+1)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
$\begin{aligned}[t]
A & =(x+2)(x+3)\\
  & = x^2+3x+2x+6\\
\Aboxed{A & = x^2+6x+6}
\end{aligned}$

\item 
$\begin{aligned}[t]
B & =(3x+2)(5x+3)\\
  & = 15x^2+9x+10x+6\\
\Aboxed{B & = 15x^2+19x+6}
\end{aligned}$

\item 
$\begin{aligned}[t]
C & =(3-5x)(2x-7)\\
  & = 6x-21-10x^2+35x\\
\Aboxed{C & = -10x^2+41x-21}
\end{aligned}$

\item 
$\begin{aligned}[t]
D & =(5x-4)(-3x-2)\\
  & = -15x^2-10x+12x+8\\
\Aboxed{D & = -15x^2+2x+8}
\end{aligned}$

\item
$\begin{aligned}[t]
E & =(4x-1)(2x+4)+(2x-1)(5x+3)\\
& = (8x^2+16x-2x-4)+(10x^2+6x-5x-3)\\
\Aboxed{E & = 18x^2 + 15x-7}
\end{aligned}$

\item
$\begin{aligned}[t]
F & =(x-4)(x+3)-2(x+1)(x-2)\\
& = (x^2+3x-4x-12)-2(x^2-2x+x-2)\\
& = x^2-x-12-2x^2+2x+4\\
\Aboxed{F&=-x^2+x-8}
\end{aligned}$

\item
$\begin{aligned}[t]
G & =(x+5)(2x-1)-5(x+7)(x+1)\\
& = (2x^2-x+10x-5)-5(x^2+x+7x+7)\\
& = 2x^2+9x-5-5x^2-40x-35\\
\Aboxed{G&=-3x^2-31x-40}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{identités remarquables}[1]
Développer les expressions suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=(x+2)^2$
\item $B=(3x+2)^2$
\item $C=(3-5x)^2$
\item $D=(5x-4)^2$
\item $E=(4x-1)^2$
\item $F=(x-4)(x+4)$
\item $G=(2x+5)(2x-5)$
\item $H=(3x-7)(3x+7)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $A=(x+2)^2=x^2+2\times2\times x+2^2=\boxed{x^2+4x+4}$
\item $B=(3x+2)^2=(3x)^2+2\times2\times3x+2^2=\boxed{9x^2+12x+4}$
\item $C=(3-5x)^2=3^2-2\times3\times5x+(5x)^2=\boxed{9-30x+25x^2}$
\item $D=(5x-4)^2=(5x)^2-2\times4\times10x+4^2=\boxed{25x^2-40x+16}$
\item $E=(4x-1)^2=(4x)^2-2\times1\times4x+1^2=\boxed{16x^2-8x+1}$
\item $F=(x-4)(x+4)=x^2-4^2=\boxed{x^2-16}$
\item $G=(2x+5)(2x-5)=(2x)^2-5^2=\boxed{4x^2-25}$
\item $H=(3x-7)(3x+7)=(3x)^2-7^2=\boxed{9x^2-49}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{florilège de développements}[1]
Développer les expressions suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=(2x-5)(x+3)+(x+6)^2$
\item $B=(3x+4)^2-(x-1)(x+1)$
\item $C=(5x-4)(5x+4)-2(x+3)(x-3)$
\item $D=(8x+3)(3x-8)-3(x+9)^2$
\item $E=(7x-1)(7x+1)-5(3x-2)^2$
\item $F=3(2x-1)^2+(5x-3)^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
A & =(2x-5)(x+3)+(x+6)^2\\
&=(2x^2+6x-5x-15)+(x^2+2\times6\times x+6^2)\\
&=2x^2+x-15+x^2+12x+36\\
\Aboxed{A&=3x^2+13x+21}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B & =(3x+4)^2-(x-1)(x+1)\\
&=(3x)^2+2\times4\times3x+4^2-(x^2-1^2)\\
& = 9x^2+24x+16-x^2+1\\
\Aboxed{B&=8x^2+24x+17}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C & =(5x-4)(5x+4)-2(x+3)(x-3)\\
& = (5x)^2-4^2-2(x^2-3^2)\\
&=25x^2-16-2x^2+18\\
\Aboxed{C&=23x^2+2}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D & =(8x+3)(3x-8)-3(x+9)^2\\
& = 24x^2-64x+9x-24-3(x^2+2\times9\times x+9^2)\\
& = 24x^2-55x-24-3(x^2+18x+81)\\
& = 24x^2-55x-24-3x^2-54x-243\\
\Aboxed{D & = 21x^2-109x-267}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
E& =(7x-1)(7x+1)-5(3x-2)^2\\
& = (7x)^2-1^2-5\big[(3x)^2-2\times2\times3x+2^2\big]\\
& = 49x^2-1-5(9x^2-12x+4)\\
& = 49x^2-1-45x^2+60x-20\\
\Aboxed{E & = 4x^2+60x-21}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
F & =3(2x-1)^2+(5x-3)^2\\
  & = 3(4x^2-4x+1)+(25x^2-30x+9)\\
  & = 12x^2-12x+3+25x^2-30x+9\\
\Aboxed{F & = 37x^2-42x+12}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Développer l'expression $(a+b+c)^2$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

\tcblower

Pour développer $(a+b+c)^2$, on peut voir ce calcul sous la forme:
\begin{align*}
(a+b+c)^2 & = (\textcolor{red}{a+b}+\textcolor{green}{c})(a+b+c)\\
& = \big[(\textcolor{red}{a+b})(\textcolor{blue}{a+b}+\textcolor{orange}{c})\big] + \textcolor{green}{c}(a+b+c)\\
& = \big[\textcolor{red}{(a+b)}\textcolor{blue}{(a+b)}+ \textcolor{orange}{c}\textcolor{red}{(a+b)}\big] + \textcolor{green}{c}(a+b+c)\\
& = a^2+2ab+b^2 + ac+bc + ac+bc+c^2\\
\Aboxed{(a+b+c)^2 & = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}
\end{align*}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{vers la formule du binôme de Newton}[3]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

En utilisant l'identité remarquable permettant de développer $(a+b)^2$, donner le développement de $(a+b)^n$, pour $n=3$, $n=4$ puis $n=5$.

Donner alors le développement de $(1+x)^n$ pour $n=2$, $n=3$, $n=4$ et $n=5$.

\tcblower

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^3 & = (a+b)(a+b)^2\\
& = (a+b)(a^2+2ab+b^2)\\
& = \underbrace{(a^3+2a^2b+ab^2)}_{=a(a^2+2ab+b^2)} + \underbrace{(a^2b+2ab^2+b^3)}_{=b(a^2+2ab+b^2)}\\
\Aboxed{(a+b)^3 & = a^2 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^4 & = (a+b)(a+b)^3\\
& = (a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
& = (a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3) + (a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4)\\
\Aboxed{(a+b)^4& = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^5 & = (a+b)(a+b)^4\\
& = (a+b)(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)\\
& (a^5+4a^4b+6a^3b^2+4a^2b^3+ab^4) + (a^4b+4a^4b^2+6a^2b^3+4ab^4+b^5)\\
\Aboxed{(a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5}
\end{aligned}$
\end{itemize}

Si on représente les coefficients des termes du développement de $(a+b)^n$ pour $n$ allant de 0 à 5, on a ceci:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt , fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{numpagecorrige!10}}l|*6{Sc|}}
\hline
$n$ & \multicolumn{6}{|Sc|}{\cellcolor{numpagecorrige!10}Coefficients}\\
\hline
$n=0$ : $(a+b)^0 = 1$ & 1 & & & & & \\
\hline
$n=1$ : $(a+b)^1=\textcolor{red}{1}a+\textcolor{red}{1}b$ & 1 & 1 &  & & & \\
\hline
$n=2$ : $(a+b)^2=\textcolor{red}{1}a^2+\textcolor{red}{2}ab+\textcolor{red}{1}b^2$ & 1 & 2 & 1 & & & \\
\hline
$n=3$ & 1 & 3 & 3 & 1 & &\\
\hline
$n=4$ & 1 & 4 & \cellcolor{yellow!30} 6 & \cellcolor{yellow!30} 4 & 1 & \\
\hline
$n=5$ & 1 & 5 & 10 &\cellcolor{yellow!30} 10 & 5 & 1\\
\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On s'aperçoit qu'un coefficient est la somme de celui qui est juste au-dessus et de son prédécesseur (comme dans l'exemple des cases jaunes : $10=4+6$).

Les coefficients forment une sorte de triangle de nombres; c'est ce que l'on appelle le\linebreak \textit{triangle de Pascal} (Blaise Pascal était un grand mathématicien français du XVII\ieme{} siècle).

Le développement de $(1+x)^n$ pour $n$ variant de 2 à 5 est donc :
\begin{itemize}
\item $(1+x)^2=1+2x+x^2$,\smallskip
\item $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$,\smallskip
\item $(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$,\smallskip
\item $(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$.
\end{itemize}
\end{exocor}


%%% 

\begin{exocor}{pour les balaises... et pas que les Pascal!}[3]
\begin{enumerate}
\item \label{q1ex27ch03} Développer $\big(x+y\sqrt5\big)^2$, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels.
\end{enumerate}
On a tracé ci-dessous dans un repère les ensembles des points $M\coord{x}{y}$ tels que $x^2+5y^2=n$, pour $n$ entier variant de 1 à 5.
\begin{center}
\textcolor{orange}{$n=1$}\quad
\textcolor{purple}{$n=2$}\quad
\textcolor{blue}{$n=3$}\quad
\textcolor{green!50!black}{$n=4$}\quad
\textcolor{red}{$n=5$}

\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[gray!50,dashed] (-2.5,-1.5) grid (2.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[orange] (0,0) ellipse (1cm and 0.4472135954999579cm);
\draw[purple] (0,0) ellipse (1.4142135623730951cm and 0.6324555320336759cm);
\draw [blue] (0,0) ellipse (1.7320508075688772cm and 0.7745966692414834cm);
\draw [green!50!black] (0,0) ellipse (2cm and 0.8944271909999159cm);
\draw [red] (0,0) ellipse (2.23606797749979cm and 1cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[start=2]
\item Le point $M\coord{1}{0}$ appartient-il à l'ensemble \textcolor{orange}{orange} ?

En remplaçant $x$ par 1 et $y$ par 0 dans le développement de la question \ref{q1ex27ch03}, quelle égalité obtient-on ?
\item Existe-t-il des points à coordonnées entières sur les ensembles qui ne sont pas \textcolor{orange}{orange} ? Si oui, quelle(s) égalité(s) cela nous permet-il d'écrire ?
\end{enumerate}
Pour $n=9$, on a l'ensemble des points suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[gray!50,dashed] (-3.5,-1.5) grid (3.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-3.5,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw (0,0) ellipse (3cm and 1.3416407864998738cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\begin{enumerate}[start=4]
\item À l'aide des coordonnées entières d'un point de cet ensemble, montrer que :
\[
\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5.
\]
\item Pour $n=14$, on peut constater que le point $Q\coord{3}{1}$ appartient à l'ensemble des points de coordonnées \coord{x}{y} tels que $x^2+5y^2=14$.

En déduire une écriture simplifiée du nombre $\sqrt{14+6\sqrt5}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
\[
\sqrt{n^2+5+2n\sqrt5}=n+\sqrt5.
\]
\item Trouver alors l'écriture simplifiée du nombre $\sqrt{405+40\sqrt5}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{center}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \label{iueyrhei} $\begin{aligned}[t]
\big(x+y\sqrt5\big)^2 &= x^2 + 2\times x \times y\sqrt5 + \big(y\sqrt5\big)^5\\
& = x^2 + 2xy\sqrt5 + 5y^2\\
\Aboxed{\big(x+y\sqrt5\big)^2 &= x^2+5y^2 + 2xy\sqrt5}
\end{aligned}$

\item $M\coord{1}{0}$ appartient en effet à l'ensemble orange car l'ellipse orange passe par ce point:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[gray!50,dashed] (-2.5,-1.5) grid (2.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[orange] (0,0) ellipse (1cm and 0.4472135954999579cm);
\draw[purple] (0,0) ellipse (1.4142135623730951cm and 0.6324555320336759cm);
\draw [blue] (0,0) ellipse (1.7320508075688772cm and 0.7745966692414834cm);
\draw [green!50!black] (0,0) ellipse (2cm and 0.8944271909999159cm);
\draw [red] (0,0) ellipse (2.23606797749979cm and 1cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\fill[red] (1,0) circle(1pt) node[above right] {M\coord{1}{0}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si on remplace les coordonnées de ce point dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on a :
\[
(1+0\times\sqrt5)^2=1^2+5\times0^2+2\times1\times0\times\sqrt5
\]
soit :
\[
1^2=1^2.
\]

\newpage

\item Sur les ensembles \textcolor{purple}{violet}, \textcolor{blue}{bleu} et \textcolor{green!50!black}{vert}, il n'y a aucun point à coordonnées entières.

En revanche, le point N\coord{0}{1} est sur l'ensemble \textcolor{red}{rouge}. En remplaçant $x$ par 0 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:
\[
(0^2+1\sqrt5)^2=0^2+5\times1^2+2\times0\times1\sqrt5
\]
soit:
\[
\big(\sqrt5\big)^2=5.
\]
Bon, là non plus, ce n'est pas une révolution... mais on avance...

\item Le point $P\coord{2}{1}$ appartient à cet ensemble car:
\[
2^2 + 5\times1^2=9.
\]
En remplaçant $x$ par 2 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:
\begin{align*}
\big(2+1\sqrt5)^2 & =2^2+5\times1^2+2\times2\times1\sqrt5\\
& = 9+4\sqrt5.
\end{align*}
On en déduit alors:

\[
\sqrt{\big(2+1\sqrt5)^2}=\sqrt{9+4\sqrt5}
\]

soit:

\[
\boxed{\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5}
\]

\item $Q\coord{3}{1}$ appartient à l'ensemble. En remplaçant $x$ par 3 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:

\begin{align*}
\big(3+1\sqrt5)^2 & =3^2+5\times1^2+2\times3\times1\sqrt5\\
& = 14+6\sqrt5.
\end{align*}

On en déduit alors:

\[
\sqrt{\big(3+1\sqrt5)^2}=\sqrt{14+6\sqrt5}
\]

soit:
\[
\boxed{\sqrt{14+6\sqrt5}=3+\sqrt5}
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
\big(n+\sqrt5\big)^2 & = n^2 + 2n\sqrt5 + \big(\sqrt5\big)^2\\
& = n^2+5+2n\sqrt5.
\end{align*}
En prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient:
\[
\boxed{n+\sqrt5=\sqrt{n^2+5+2n\sqrt5}}
\]

\item $\sqrt{405+40\sqrt5}=\sqrt{20^2+5+2\times20\sqrt5}$ donc en prenant $n=20$ dans la formule précédente, on obtient:
\[
\boxed{\sqrt{405+40\sqrt5}=20+\sqrt5}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{extrait du livre X des \'Eléments d'Euclide}[3]
Montrer l'égalité suivante, où , $a$ et $b$ sont des nombres réels tels que $a^2 \geqslant b$:
\[
\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}.
\]

\tcblower

Premier constat: les deux membres de l'égalité à démontrer sont positifs. Ainsi, démontrer l'égalité entre leur carré est équivalent. En d'autres termes, démontrer l'égalité:
\[
\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}
\]
est équivalent à démontrer l'égalité:
\[
\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = \left( \sqrt{a+\sqrt{b}} \right)^2
\]
c'est-à-dire:
\[
\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = a+\sqrt{b}.
\]
C'est ce que nous allons faire.

Développons le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable: \[
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2.
\]
\begin{align*}
& \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\
=\ & \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\times\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\
=\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\\
=\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+ 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\
& \text{(on a réorganisé les termes)}\\
=\ & a + 2\sqrt{\frac{\big(a+\sqrt{a^2-b}\big)\big(a-\sqrt{a^2-b}\big)}{4}}\\
=\ & a + 2\frac{\sqrt{a^2-\big( \sqrt{a^2-b} \big)^2}}{\sqrt4}\\
=\ & a + \sqrt{a^2-(a^2-b)}\\
=\ & a + \sqrt{b}.\text{ (nous avons démontré l'égalité souhaitée)}
\end{align*}

\end{exocor}

\subsection*{Factorisations}

%%% 

\begin{exocor}{avec facteur commun évident}[1]
Factoriser chacune des expressions suivantes sachant que le facteur commun est explicite dans chaque terme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A=(2x+1)(x+3)-2(x+3)(5x+6)$
\item $B=(x-4)(2x+9)+3(x-4)(7x+3)$
\item $C=(3x-1)(5x+2)-(5x+2)(9x+8)$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$A$ & $=(2x+1)\textcolor{red}{(x+3)}-2\textcolor{red}{(x+3)}(5x+6)$ &\\
    & $=\textcolor{red}{(x+3)}[(2x+1)-2(5x+6)]$ & le facteur commun est $(x+3)$\\
    & $=(x+3)(2x+1-10x-12)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $-2$ le $5x$ et le $6$\\
    & $=(x+3)(-8x-11)$ & on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses\\
    & \underline{$=-(x+3)(8x+11)$} & on met en facteur \og $-1$ \fg{} pour la lisibilité\\
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$B$ & $=\textcolor{red}{(x-4)}(2x+9)+3\textcolor{red}{(x-4)}(7x+3)$ &\\
    & $=\textcolor{red}{(x-4)}[(2x+9)+3(7x+3)]$ & le facteur commun est $(x-4)$\\
    & $=(x-4)(2x+9+21x+9)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $3$ le $7x$ et le $3$\\
    & \underline{$=(x-4)(23x+18)$} & on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$C$ & $=(3x-1)\textcolor{red}{(5x+2)}-\textcolor{red}{(5x+2)}(9x+8)$ &\\
    & $=\textcolor{red}{(5x+2)}[(3x-1)-(9x+8)]$ & le facteur commun est $(5x+2)$\\
    & $=(5x+2)(3x-1-9x-8)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $-1$ le $9x$ et le $8$\\
    & $=(5x+2)(-6x-9)$ & on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses\\
    &\underline{$=-3(5x+2)(2x+3)$} & on factorise par $-2$ ce qu'il y a dans la deuxième paire de parenthèses\\
\end{tabularx}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{en faisant apparaître le facteur commun}[2]
Factoriser chacune des expressions suivantes sachant que le facteur commun n'est pas explicite dans chaque terme mais que l'on peut le faire apparaître sans l'aide d'une identité remarquable.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $D=(9x+6)(4x+1)+(3x+2)(1-4x)$
\item $E=(2x+3)(5x-10)-3(x-2)(5x+9)$
\item $F=(3x-1)(2x+7)-4(1-3x)(7-2x)$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$D$ & $=\textcolor{blue}{(9x+6)}(4x+1)+(3x+2)(1-4x)$ &\\
    & $=\textcolor{blue}{3\underline{(3x+2)}}(4x+1)+\underline{(3x+2)}(1-4x)$ & on factorise $(9x+6)$ par 3 \\
    & $=(3x+2)[3(4x+1)+(1-4x)]$ & on factorise par $(3x+2)$\\
    & $=(3x+2)(12x+3+1-4x)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets\\
    & $=(3x+2)(8x+4)$ & on réduit l'expression \\
    & \underline{$=4(3x+2)(2x+1)$} & on factorise par 4 dans le deuxième facteur
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$E$ & $=(2x+3)\textcolor{blue}{(5x-10)}-3(x-2)(5x+9)$ &\\
    & $=\textcolor{blue}{5\underline{(x-2)}}(2x+3)-3\underline{(x-2)}(5x+9)$ & on factorise $(5x-10)$ par 5 \\
    & $=(x-2)[5(2x+3)-3(5x+9)]$ & on factorise par $(x-2)$\\
    & $=(x-2)(10x+15-15x-27)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets\\
    & $=(x-2)(-5x-12)$ & on réduit l'expression dans le second facteur\\
    & \underline{$=-(x-2)(5x+12)$} & on factorise par $-1$ dans le deuxième facteur
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$F$ & $=(3x-1)(2x+7)-4\textcolor{blue}{(1-3x)}(7-2x)$ &\\
    & $=(3x-1)(2x+7)\textcolor{blue}{+}4\textcolor{blue}{(3x-1)}(7-2x)$ & on factorise $(1-3x)$ par $(-1)$\\
    & $=(3x-1)[(2x+7)+4(7-2x)]$ & on factorise par $(3x-1)$\\
    & $=(3x-1)(2x+7+28-8x)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets\\
    & \underline{$=(3x-1)(-6x+35)$} & on réduit l'expression dans le second facteur
\end{tabularx}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{à l'aide des identités remarquables}[2]
Factoriser chacune des expressions suivantes sachant que le facteur commun n'est pas explicite dans chaque terme mais que l'on peut le faire apparaître à l'aide d'une identité remarquable.
\begin{enumerate}
\item $G=9x^2+6x+1-(3x+1)(4x-1)$
\item $H=4x^2-12x+9+(2x-3)(7x+1)$
\item $I=25x^2-4+3(5x-2)(x+3)$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$G$ & $=\textcolor{red}{9x^2+6x+1}-(3x+1)(4x-1)$ &\\
    & $=\textcolor{red}{(3x+1)^2}-(3x+1)(4x-1)$ & on veut que $9x^2+6x+1$ soit une identité remarquable de la forme $(a+b)^2$, donc il faut que $9x^2=a^2$ et que $1=b^2$\\
    & & donc $a=3x$ et $b=1$\\
    & $=(3x+1)[(3x+1)-(4x-1)]$ & on factorise par $(3x+1)$\\
    & $=(3x+1)(3x+1-4x+1)$ & on enlève les parenthèses dans les crochets\\
    & \underline{$=(3x+1)(-x+2)$} & on réduit l'expression dans le second facteur
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$H$ & $=\textcolor{red}{4x^2-12x+9}+(2x-3)(7x+1)$ & \\
    & $=\textcolor{red}{(2x-3)^2}+(2x-3)(7x+1)$ & il faut que $4x^2=a^2$ et $9=b^2$, donc $a=2x$ et $b=3$\\
    & $=(2x-3)(2x-3+7x+1)$ & \\
    & \underline{$=(2x-3)(9x+2)$} & 
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$I$ & $=\textcolor{red}{25x^2}-\textcolor{blue}{4}+3(5x-2)(x+3)$ & \\
    & $=\textcolor{red}{(5x)^2}-\textcolor{blue}{2^2}+3(5x-2)(x+3)$ & on fait apparaître une expression de la forme\newline $a^2-b^2$\\
    & $=(5x-2)(5x+2)+3(5x-2)(x+3)$ & on factorise $a^2-b^2$ en $(a-b)(a+b)$\\
    & $=(5x-2)[5x+2+3(x+3)]$ & \\
    & $=(5x-2)(5x+2+3x+9)]$ & \\
    & \underline{$=(5x-2)(8x+11)$} & 
\end{tabularx}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{à l'aide de la troisième identité remarquable}[2]
Factoriser chacune des expressions suivantes à l'aide  de la troisième identité remarquable : 
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=(x+1)^2-(x-1)^2$
\item $B=(2x+3)^2-(3x-2)^2$
\item $C=(3-4x)^2-(5x+1)^2$
\item $D=(8-4x)^2+(6x+4)^2$
\item $E=36(x-4)^2-64(x+3)^2$
\item $F=25(3-7x)^2-9(2x+5)^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $A=(x+1)^2-(x-1)^2$.

$A$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(x+1)$ et $b=(x-1)$, d'où :
\begin{align*}
A  & = \big[(x+1)-(x-1)\big]\big[(x+1)+(x-1)\big]\\
   & = (x+1-x+1)(x+1+x-1)\\
   & = 2 \times 2x\\
\Aboxed{A & = 4x}
\end{align*}

\item $B=(2x+3)^2-(3x-2)^2$.

$B$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(2x+3)$ et $b=(3x-2)$, d'où :
\begin{align*}
B & = \big[(2x+3)-(3x-2)\big]\big[(2x+3)+(3x-2)\big]\\
  & = (2x+3-3x+2)(2x+3+3x-2)\\
\Aboxed{B & = (-x+5)(5x+1)}
\end{align*}

\item $C=(3-4x)^2-(5x+1)^2$.

$C$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(3-4x)$ et $b=(5x+1)$, d'où :
\begin{align*}
C & = \big[(3-4x)-(5x+1)\big]\big[(3-4x)+(5x+1)\big]\\
  & = (3-4x-5x-1)(3-4x+5x+1)\\
\Aboxed{C & = (2-9x)(x+4)}
\end{align*}

\item $D=(8-4x)^2+(6x+4)^2$.

$D$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(8-4x)$ et $b=(6x+4)$, d'où :
\begin{align*}
D & = \big[(8-4x)-(6x+4)\big]\big[(8-4x)+(6x+4)\big]\\
  & = (8-4x-6x-4)(8-4x+6x+4)\\
\Aboxed{D & = (4-10x)(2x+12)}
\end{align*}

On pourrait continuer à factoriser $D$ en écrivant :
\begin{align*}
D &= 2(2-5x) \times 2(x+6)\\
\Aboxed{D & = 4(2-5x)(x+6)}
\end{align*}
Les deux résultats encadrés sont corrects.


\item $E=36(x-4)^2-64(x+3)^2$.

$E$ peut s'écrire :
\[
E = \big[6(x-4)\big]^2-\big[8(x+3)\big]^2.
\]
Ainsi, $E$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=6(x-4)$ et $b=8(x+3)$, d'où :
\begin{align*}
E & = \big[6(x-4)-8(x+3)\big]\big[6(x-4)+8(x+3)\big]\\
  & = (6x-24-8x-24)(6x-24+8x+24)\\
 & = (-2x-48)(14x)\\
\Aboxed{E &=14x(-2x-48)}\\
& = 14x \times (-2)(x+24)\\
\Aboxed{E & = -28x(x+24)}\qquad\text{(forme factorisée optimale)}
\end{align*}

\item $F=25(3-7x)^2-9(2x+5)^2$.

On peut écrire :
\[
F=\big[5(3-7x)\big]^2 - \big[3(2x+5)\big]^2.
\]
Ainsi, $F$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=5(3-7x)$ et $b=3(2x+5)$, d'où :
\begin{align*}
F & = \big[5(3-7x)-3(2x+5)\big]\big[5(3-7x)+3(2x+5)\big]\\ & = (15-35x-6x-15)(15-35x+6x+15)\\
\Aboxed{F & = -41x(30-29x)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{à l'aide d'une identité remarquable}[2]
Factoriser chacune des expressions suivantes sachant que l'on peut faire apparaître une identité remarquable de la forme $a^2-b^2$ pour factoriser.

\begin{enumerate}
\item $J=(9x+18)(x+2)-(4x+20)(x+5)$
\item $K=2(2x+3)(4x+6)-3(3x+2)(9x+6)$
\item $L=7(7x+1)(49x+7)+(1-4x)(16x-4)$
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$J$ & $=\textcolor{red}{(9x+18)}(x+2)-\textcolor{blue}{(4x+20)}(x+5)$ &\\
    & $=\textcolor{red}{9(x+2)}(x+2)-\textcolor{blue}{4(x+5)}(x+5)$ & \\
    & $=[3(x+2)]^2-[2(x+5)]^2$ & on fait apparaître $a^2-b^2$, avec $a=3(x+2)$ et $b=2(x+5)$\\
    & $=[3(x+2)-2(x+5)][3(x+2)+2(x+5)]$ & \\
    & $=(3x+6-2x-10)(3x+6+2x+10)$ & on développe dans les crochets\\
    & \underline{$=(x-4)(5x+16)$} & 
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$K$ & $=2(2x+3)\textcolor{red}{(4x+6)}-3(3x+2)\textcolor{blue}{(9x+6)}$ &\\
    & $=2(2x+3)\times\textcolor{red}{2(2x+3)}-3(3x+2)\times\textcolor{blue}{3(3x+2)}$ & \\
    & $=[2(2x+3)]^2-[3(3x+2)]^2$ & on fait apparaître $a^2-b^2$\\
    & $=[2(2x+3)-3(3x+2)][2(2x+3)+3(3x+2)]$ & \\
    & $=(4x+6-9x-6)(4x+6+9x+6)$ & on développe dans les crochets\\
    & \underline{$=-5x(13x+12)$} & 
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{rlX}
$L$ & $=7(7x+1)\textcolor{red}{(49x+7)}+\textcolor{green!50!black}{(1-4x)}\textcolor{blue}{(16x-4)}$ &\\
    & $=7(7x+1)\times\textcolor{red}{7(7x+1)}\textcolor{green!50!black}{-(4x-1)}\times\textcolor{blue}{4(4x-1)}$ & \\
    & $=[7(7x+1)]^2-[2(4x-1)]^2$ & on fait apparaître $a^2-b^2$\\
    & $=[7(7x+1)-2(4x-1)][7(7x+1)+2(4x-1)]$ & \\
    & $=(49x+7-8x+2)(49x+7+8x-2)$ & on développe dans les crochets\\
    & \underline{$=(41x+9)(57x+5)$} & 
\end{tabularx}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{à l'aide des identités remarquables}[2]
Factoriser chacune des expressions suivantes à l'aide d'une des trois identités remarquables.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=x^2+2x+1$
\item $B=9x^2-12x+4$ % (3x-2)²
\item $C=x^2-9$
\item $D=4x^2+12x+9$ % (2x+3)²
\item $E=\dfrac{1}{4}x^2-5x+25$ % (1/2x - 5)²
\item $F=25-4x^2$
\item $G=81x^2+126x+49$ % (9x+7)²
\item $H=121x^2-64$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{rem}
Rappelons avant tout les trois identités remarquables :
\[
\begin{array}{|r@{~=~}l|}
\hline
\text{Formes factorisées} & \text{Formes développées}\\
\hline
(a+b)^2 & a^2 + 2ab + b^2\\
(a-b)^2 & a^2 - 2ab + b^2\\
(a-b)(a+b) & a^2-b^2\\
\hline
\end{array}
\]

Quand on souhaite factoriser à l'aide d'une identité remarquable, il faut lire ces égalités de droite à gauche :

\[
\begin{array}{|r@{~=~}l|}
\hline
\text{Formes développées} & \text{Formes factorisées}\\
\hline
a^2 + 2ab + b^2 & (a+b)^2\\
a^2 - 2ab + b^2 & (a-b)^2\\
a^2-b^2 & (a-b)(a+b)\\
\hline
\end{array}
\]
\end{rem}

\begin{enumerate}
\item $A=x^2+2x+1$.

Nous voyons qu'il y a trois termes dans cette expression; or, seules les deux premières égalités développées comportent trois termes. 

De plus, il n'y a que des signes \og $+$ \fg{} donc seule la première égalité ne peut convenir.

\medskip

Il faut donc que :
\[
x^2+2x+1=a^2+2ab+b^2\;,
\]
ce qui signifie que nous devons avoir :
\[
\begin{cases}
a^2=x^2\\
b^2=1
\end{cases}
\qquad
\text{donc}\qquad
\begin{cases}
a=x\\
b=1
\end{cases}
\text{ par exemple}.
\]
On vérifie que le double produit ($2ab$) est correct :
\[
2\times x \times 1 = 2x\;;
\]
donc :
\[
\boxed{x^2+2x+1)=(x+1)^2}
\]

\item $B=9x^2-12x+4$.

Nous voyons qu'il y a trois termes dans cette expression; or, seules les deux premières égalités développées comportent trois termes. 

De plus, il y a un signe \og $-$ \fg{} donc seule la deuxième égalité ne peut convenir.

\medskip

Il faut donc que :
\[
9x^2-12x+4=a^2-2ab+b^2\;,
\]
ce qui signifie que nous devons avoir :
\[
\begin{cases}
a^2=9x^2\\
b^2=4
\end{cases}
\qquad
\text{donc}\qquad
\begin{cases}
a=3x\\
b=2
\end{cases}
\text{ par exemple}.
\]
On vérifie que le double produit ($2ab$) est correct :
\[
2\times 3x \times 2 = 12x\;;
\]
donc :
\[
\boxed{9x^2-12x+4)=(3x+2)^2}
\]

\item $C=x^2-9$.

Il n'y a que deux termes dans cette expression donc seule la troisième identité remarquable ne peut convenir. On a :
\[
x^2-9=x^2-3^2=a^2-b^2\text{ avec }a=x\text{ et }b=3
\]
donc :
\[
\boxed{x^2-9=(x-3)(x+3)}
\]

\item $D=4x^2+12x+9$.

On peut écrire :
\[
D = (2x)^2 + 2\times 6x + 3^2.
\]
Ainsi, $D$ est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$, d'où :
\[
\boxed{D=(2x+3)^2}
\]

\item $E=\dfrac{1}{4}x^2-5x+25$.

On peut écrire :
\[
E=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2 - 2\times \dfrac{5}{2}x + 5^2.
\]
Ainsi, $E$ est de la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=\dfrac{1}{2}x$ et $b=5$, d'où :
\[
\boxed{E=\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)^2}
\]

\item $F=25-4x^2$.

On peut écrire :
\[
F=5^2 - (2x)^2
\]
donc $F$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=5$ et $b=2x$, d'où :
\[
\boxed{(5-2x)(5+2x)}
\]

\item $G=81x^2+126x+49$.

On peut écrire :
\[
G=(9x)^2+2\times63x+7^2=(9x)^2+2\times9x\times7+7^2
\]
donc $G$ est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=9x$ et $b=7$, d'où :
\[
\boxed{G=(9x+7)^2}
\]

\item $H=121x^2-64$.

On peut écrire :
\[
H=(11x)^2-8^2
\]
donc $H$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=11x$ et $b=8$, d'où :
\[
\boxed{H=(11x-8)(11x+8)}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{calculs astucieux}[3]
Sans utiliser la calculatrice, donner le résultat des opérations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=\numprint{897526}^2-\numprint{897525}\times\numprint{897527}$
\item $B=\numprint{100001}^2-\numprint{99999}^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $A=\numprint{897526}^2-\numprint{897525}\times\numprint{897527}$.

Posons $x=\numprint{897526}$. Alors,
\begin{align*}
A & = x^2 - (x-1)(x+1)\\
& = x^2 - (x^2 - 1^2)\\
& = x^2 - x^2 + 1\\
\Aboxed{A & = 1}
\end{align*}

\item $B=\numprint{100001}^2-\numprint{99999}^2$.

Posons $x=\numprint{100000}$. Alors,
\begin{align*}
B & = (x+1)^2-(x-1)^2\\
& = \big[(x+1)-(x-1)\big]\big[(x+1)+(x-1)\big]\\
& = 4x.
\end{align*}

Donc $\boxed{B=4\times\numprint{100000}=\numprint{400000}}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{\'Equations}

%%% 

\begin{exocor}{équations produit nul et quotient nul}[1]
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $-3x+7=0$
\item $\dfrac{3}{5}x-6=0$
\item $-\dfrac{2}{7}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{21}x+2$
\item $(-3x+1)(5x-7)=0$
\item $\left(-\dfrac{1}{2}x-5\right)\left(\dfrac{3}{4}x+2\right)=0$
\item $2x(5x-1)(2x+3)=0$
\item $\dfrac{x^2+1}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}$
\item $\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x^2-4}$
\item $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=2$
\item $\dfrac{2}{x-1}=1-\dfrac{x}{x+1}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
 & -3x+7=0\\
\Leftrightarrow &  -3x = -7\\
\Leftrightarrow &\, x = \dfrac{-7}{-3}\\
\Leftrightarrow &\, \boxed{S = \left\{ \dfrac{7}{3} \right\} }
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{3}{5}x-6=0\\
\Leftrightarrow &\,\dfrac{3}{5}x=6\\
\Leftrightarrow &\,x=6\times\dfrac{5}{3}\\ 
\Leftrightarrow &\,\boxed{S = \{10\} }
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item  $\begin{aligned}[t]
 & -\dfrac{2}{7}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{21}x+2\\[6pt]
\Leftrightarrow &-\dfrac{2}{7}x-\dfrac{2}{21}x=2-\dfrac{1}{2}\\[6pt]
\Leftrightarrow &-\dfrac{8}{21}x=\dfrac{3}{2}\\[6pt]
\Leftrightarrow&\; x=\dfrac{3}{2}\times\left(-\dfrac{21}{8}\right)\\[6pt]
\Leftrightarrow &\;\boxed{S = \left\{ -\dfrac{63}{16} \right\} }\end{aligned}$

\begin{multicols}{2}
\item  $\begin{aligned}[t]
& (-3x+1)(5x-7)=0\\
\Leftrightarrow &-3x+1=0\text{ ou }5x-7=0\\
\Leftrightarrow &\; x=\dfrac{1}{3}\text{ ou }x=\dfrac{7}{5}\\
\Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace \dfrac{1}{3} ~;~\dfrac{7}{5} \right\rbrace}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
&\left(-\dfrac{1}{2}x-5\right)\left(\dfrac{3}{4}x+2\right)=0\\
\Leftrightarrow &-\dfrac{1}{2}x-5=0\text{ ou }\dfrac{3}{4}x+2=0\\
\Leftrightarrow &\; x=-10\text{ ou }x=-\dfrac{8}{3}\\
\Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace -10~;~-\frac{8}{3}\right\rbrace}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
& 2x(5x-1)(2x+3)=0\\
\Leftrightarrow &\; 2x=0\text{ ou }5x-1=0\text{ ou }2x+3=0\\
\Leftrightarrow &\; x=0\text{ ou }x=\dfrac{1}{5}\text{  ou }x=-\dfrac{3}{2}\\
\Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace 0~;~\dfrac{1}{5}~;~-\dfrac{3}{2}\right\rbrace}
\end{aligned}$

\item  $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{x^2+1}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1},\ x\neq1\\
\Leftrightarrow&\; x^2+1 = 2x,\ x \neq 1\\
\Leftrightarrow&\; x^2-2x+1=0,\ x\neq 1\\
\Leftrightarrow&\; (x-1)^2=0,\ x\neq 1\\
\Leftrightarrow&\; x=1,\ x\neq 1\\
\Leftrightarrow&\; \boxed{S=\varnothing}
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item $\begin{aligned}[t]
& \dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x^2-4}, \ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\
\Leftrightarrow&\; \dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{x^2-4},\ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\
\Leftrightarrow &\;\dfrac{x-2}{x^2-4}=\dfrac{1}{x^2-4},\ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\
\Leftrightarrow&\; x-2=1,\ x \neq 2\text{ et }x \neq -2\\
\Leftrightarrow &\;\boxed{S = \{3\}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
&\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=2,\ x\neq0\text{ et }x\neq-1\\
\Leftrightarrow& \dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{2x(x+1)}{x(x+1)},\ x\neq0\text{ et }x\neq-1\\
\Leftrightarrow&\; x+1+x=2x(x+1),\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; 2x+1=2x^2+2x,\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; x^2=\dfrac{1}{2},\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ ou }x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \iff \boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{1}{\sqrt{2}}~;~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\rbrace}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
&\dfrac{2}{x-1}=1-\dfrac{x}{x+1},\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow &\;\dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)},\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; 2(x+1)=x^2-1-x(x-1),\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; 2x+2=x^2-1-x^2+x,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; 2x+2-x^2+1+x^2-x=0,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; x+3=0,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow &\; x=-3,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\
\Leftrightarrow&\; \boxed{S=\{-3\}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations avec carrés}[2]
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $(3x-5)^2=16$
\item $\big(x^2-4\big)^2=81$
\item $\big(3x^2-4\big)^2=9$
\item $\left(\dfrac{2x-1}{x-7}\right)^2=25$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
(3x-5)^2=16 & \Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
3x-5=4\\
\kern-.75em\text{ou}\\
3x-5=-4
\end{array}
\right.
\\
&
\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
3x=9\\
\kern-.75em\text{ou}\\
3x=1
\end{array}
\right.
\\
&
\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
x=3\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x=\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\end{aligned}$

On a alors : $\boxed{\mathcal{S}=\left\{3~;\dfrac{1}{3}\right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\big(x^2-4\big)^2=81 & 
\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
x^2-4=9\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x^2-4=-9
\end{array}
\right.
\\
&
\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
x^2=13\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x^2=-5~~\longleftarrow\text{impossible car }x^2\geqslant0
\end{array}
\right.
\\
&
\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{l}
x=\sqrt{13}\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x=-\sqrt{13}
\end{array}
\right.
\\
\end{aligned}$

On a alors : $\boxed{\mathcal{S}=\big\{-\sqrt{13}~;\sqrt{13}\big\}}$.
\newpage
\item $\begin{aligned}[t]
\big(3x^2-4\big)^2=9 & \Longleftrightarrow
\left(
\begin{array}{l}
3x^2-4=3\\
\kern-.75em\text{ou}\\
3x^2-4=-3
\end{array}
\right.
\\
&
\Longleftrightarrow
\left(
\begin{array}{l}
3x^2=7\\
\kern-.75em\text{ou}\\
3x^2=1
\end{array}
\right.
\\
&
 \Longleftrightarrow
\left(
\begin{array}{l}
x^2=\dfrac{7}{3}\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x^2=\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\\
&
 \Longleftrightarrow
\left(
\begin{array}{l}
x=\sqrt{\dfrac{7}{3}}\qquad\text{ou}\qquad x=-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\\
\kern-.75em\text{ou}\\
x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\qquad\text{ou}\qquad x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{array}
\right.
\end{aligned}$

On a alors : $\boxed{\mathcal{S}=\left\{\sqrt{\dfrac{7}{3}}~;-\sqrt{\dfrac{7}{3}}~;\dfrac{1}{\sqrt{3}}~;-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{2x-1}{x-7}\right)^2=25 
& 
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				\dfrac{2x-1}{x-7}=5\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				\dfrac{2x-1}{x-7}=-5
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x-7\neq0
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				\dfrac{2x-1}{x-7}-5=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				\dfrac{2x-1}{x-7}+5=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				\dfrac{2x-1}{x-7}-\dfrac{5(x-7)}{x-7}=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				\dfrac{2x-1}{x-7}+\dfrac{5(x-7)}{x-7}=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				\dfrac{2x-1}{x-7}-\dfrac{5x-35}{x-7}=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				\dfrac{2x-1}{x-7}+\dfrac{5x-35}{x-7}=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				\dfrac{2x-1-5x+35}{x-7}=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				\dfrac{2x-1+5x-35}{x-7}=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{2x-1}{x-7}\right)^2=25 
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				2x-1-5x+35=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				2x-1+5x-35=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				-3x+34=0\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				7x-36=0
			\end{array}
		\right.
		\\
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.\\
&
\Longleftrightarrow
\left\{
	\begin{array}{l}
		\left(
			\begin{array}{l}
				x=\dfrac{34}{3}\\
				\kern-.75em\text{ou}\\
				x=\dfrac{36}{7}
			\end{array}
		\right.
		\\[30pt]
		\kern2em x\neq7
	\end{array}
\right.
\end{aligned}$

\bigskip

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{36}{7}~;\dfrac{34}{3} \right\}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dans un triangle équilatéral}[2]
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {B} -- (60:4) node[above] {A} -- (4,0) node[below right] {C} -- cycle;
\draw[dashed] (60:4) -- (2,0) node[below] {H};
\draw (1,0) node[below] {M} -- (60:2) node[above left] {N} -- ($(60:2)+(2,0)$) node[above right] {P} -- (3,0) node[below] {Q};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-6.2cm}
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 6 et soit H le milieu de [BC].\\
M est un point de [BH]. On place les points N et P respectivement sur [AB] et [AC] tels que MNPQ soit un rectangle d'axe de symétrie (AH).\\
On pose BM = $x$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer MN en fonction de $x$.
\item Justifier que MQ = $6-2x$.
\end{enumerate}
\item On veut que MNPQ soit un carré.

\begin{enumerate}
\item Montrer alors que $x\sqrt{3}~=~6~-~2x$.
\item Calculer $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle équilatéral ABC, $\angle{ABC}=60\degres$.

Dans le triangle NBM rectangle en M, 
\[
\tan\angle{NBM}=\dfrac{NM}{BM}
\]
donc :
\[
\tan60\degres=\dfrac{NM}{x}.
\]
On a donc :
\[
\boxed{MN=x\tan60\degres=x\sqrt{3}}
\]

\item Par symétrie, $BM=QC=x$ et $MH=HQ=3-x$.

Donc, $MQ=2\times(3-x)$, soit $\boxed{MQ=6-2x}$.
\end{enumerate}

\item On veut que MNPQ soit un carré.
\begin{enumerate}
\item La condition mène à l'égalité : 
\[
MQ=MN
\]
c'est-à-dire, d'après la question 1 :
\[
\boxed{x\sqrt{3}=6-2x}
\]

\item Si $x\sqrt{3}=6-2x$, alors $x\sqrt{3}+2x=6$.

Ainsi, $\left(\sqrt{3}+2\right)x=6$, soit :
\[
\boxed{x=\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}}
\]
En mathématiques, on a souvent l'habitude de ne pas laisser les résultats sous cette forme (avec un radical au dénominateur).

On continue donc le calcul ainsi:
\begin{align*}
\dfrac{6}{2+\sqrt{3}} & = \dfrac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\\
& = \dfrac{12-6\sqrt{3}}{4-3}\\
& = 12-6\sqrt{3}
\end{align*}

de sorte à ce que le dénominateur soit entier.

On peut s'assurer que $x<3$ en trouvant une valeur approchée :
\[ x\approx1,6.\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 
\newpage

%%% 

\begin{exocor}{mise en équation}[3]
\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-6cm}
Le jardin ABC est un triangle équilatéral de côté 30 mètres, entouré d'une allée de largeur $x$ mètres (représentée en jaune ci-contre). Le triangle A'B'C' est lui aussi équilatéral.

\medskip

On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de l'allée est égale à celle du jardin.

\medskip

On admettra les valeurs suivantes :
\[
\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad;\quad\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
\]

\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[fill=yellow!50!brown,draw=black] 
(0,0) node[below left] {A'} -- 
(4,0) node[below right] {B'} -- 
(60:4) node[above] {C'} -- cycle;
\filldraw[fill=green!50!brown,draw=black]
(1,0.5) node[below left] {A} --
(3,0.5) node[below right] {B} node[above,midway,scale=0.75] {30 m} -- 
($(1,0.5)+(60:2)$) node[above] {C} -- cycle;
\draw[<->,>=latex'] (2,0) -- (2,0.5) node[midway,right] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On note $h$ la hauteur de ABC. Montrer que $h=15\sqrt{3}$ mètres.
\item Montrer alors que l'aire de ABC est : $\mathcal{A}=225\sqrt{3}$ m$^2$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item En considérant le point P de [A'B'] de sorte que A'AP soit un triangle rectangle d'hypoténuse $AA'$, montrer que $A'B'=30+2x\sqrt{3}$.
\item En déduire que l'aire de $A'B'C'$ est : $\mathcal{A}'=\big(15+x\sqrt{3}\big)^2\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que chercher $x$ pour que l'aire de l'allée soit égale à celle du jardin revient à résoudre l'équation $\mathcal{A}'=2\mathcal{A}$.
\item Trouver alors la valeur exacte, puis approchée, de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \label{exfct-jardin-q1}
\begin{enumerate}
\item Nous avons le schéma suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (4,0) node[below right] {B} -- (60:4) node[above] {C} -- cycle;
\draw[dotted] (60:4) -- (2,0) node[below] {H} node[midway,below right] {$h$};
\draw (1,0) arc(0:60:1cm);
\node[right] at (30:1cm) {$60^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dans le triangle ACH rectangle en H :
\[
\sin60^\circ=\dfrac{h}{AC}\qquad\text{donc}\qquad h=AC\sin60^\circ=30\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\underline{15\sqrt{3}}.
\]

\item\label{exfct-jardin-q1b} L'aire d'un triangle est donnée par la formule : $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ donc l'aire de ABC est :
\[
\mathcal{A}=\dfrac{AB\times h}{2}=\dfrac{30\times15\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\boxed{\mathcal{A}=225\sqrt{3}~\text{m}^2}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Considérons les points P et Q comme indiqués ci-dessous, de sorte que AA'P et AA'Q soient rectangles respectivement en P et Q (voir schéma page suivante).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[fill=yellow!50!brown,draw=black] 
(0,0) node[below left] {A'} -- 
(4,0) node[below right] {B'} -- 
(60:4) node[above] {C'} -- cycle;
\filldraw[fill=green!50!brown,draw=black]
(1,0.5) node[left] {A} --
(3,0.5) node[below right] {B} node[above,midway,scale=0.75] {30 m} -- 
($(1,0.5)+(60:2)$) node[above] {C} -- cycle;
\draw[<->,>=latex'] (2,0) -- (2,0.5) node[midway,right] {$x$};
\draw[dotted] (1,0.5) -- (1,0) node[below] {P};
\draw[dotted] (1,0.5) -- (60:1) node[left] {Q};
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\left.\begin{array}{l}
AP=AQ\\
(AP)\perp(A'B')\text{ et }(AQ)\perp(A'C')
\end{array}\right\}\Rightarrow(A'A)\text{ est la bissectrice de }\widehat{B'A'C'}.$

Ainsi, $\widehat{B'A'A}=30^\circ$. Dans le triangle A'AP, rectangle en P, on a donc :
\[
\tan\widehat{PA'A}=\dfrac{AP}{A'P}\Rightarrow A'P=\dfrac{AP}{\tan30^\circ}\Rightarrow A'P=\dfrac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\Rightarrow A'P=x\sqrt{3}\;.
\]
Pour des raisons de symétrie de la figure, on a : $A'B'=2A'P+AB$, soit \underline{$A'B'=30+2x\sqrt{30}$}.

\item D'après ce qui a été fait dans la question \ref{exfct-jardin-q1}~\ref{exfct-jardin-q1b}, l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ est égale à $a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Ainsi, 
\begin{align*}
\mathcal{A}' & = (A'B')^2\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\
& = \big(30+2x\sqrt{3}\big)^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\
& = \left[2\big(15+x\sqrt{3}\big)\right]^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\
\Aboxed{\mathcal{A}' & = \big(15+x\sqrt{3}\big)^2\sqrt{3}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item L'aire de l'allée ($\mathcal{A}'-\mathcal{A}$) est égale à celle du jardin ($\mathcal{A}$) donc $\mathcal{A}'-\mathcal{A}=\mathcal{A}$. 

En ajoutant $\mathcal{A}$ à droite et à gauche du signe \og $=$ \fg, on arrive à l'équation : $\mathcal{A}'=2\mathcal{A}$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mathcal{A}'=2\mathcal{A} & \iff \big(15+x\sqrt{3}\big)^2\sqrt{3}=450\sqrt{3}\\
& \iff \big(15+x\sqrt{3}\big)^2=450\\
& \iff 15+x\sqrt{3}=\sqrt{450}\qquad\text{(car }15+x\sqrt{3}>0)\\
& \iff x\sqrt{3}=\sqrt{450}-15\\
& \iff x=\dfrac{\sqrt{450}-15}{\sqrt{3}}\\
& \iff x=\dfrac{15\sqrt{2}-15}{\sqrt{3}}\\
& \iff x=\dfrac{15\big(\sqrt{2}-1\big)\sqrt{3}}{3}\\
& \iff \boxed{x=5\sqrt{3}\big(\sqrt{2}-1\big)}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équations avec racines carrées}[3]
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\sqrt{3x-2}=7$.
\item $\sqrt{\dfrac{5x-4}{3x+1}}=3$.
\item $\sqrt{x^2+x+1}=x+1$.
\item $x\sqrt{7}+\sqrt{2}=\sqrt{7}-x\sqrt{2}$.
\item $\sqrt{(x-2)(3x+4)}=2(3x+4)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{rem}
Dès lors que l'équation à résoudre est de la forme :
\[
\sqrt{f(x)}=a,
\]
où $f$ est une fonction et $a$ un nombre réel positif, il faut s'assurer avant tout que ce qu'il y a sous la racine carrée soit positif ou nul; c'est la première condition.

Ensuite, on élève au carré chaque membre de l'équation pour résoudre l'équation :
\[
f(x)=a^2.
\]
\end{rem}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{3x-2}=7 & \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x-2\geqslant0\\
3x-2=7^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x\geqslant2\\
3x=49+2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant\dfrac 2 3\\[8pt]
x=\dfrac{51}{3}=17
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

$17\geqslant\dfrac{2}{3}$ donc l'ensemble solution de l'équation est : $\boxed{\mathcal{S}=\{17\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{\dfrac{5x-4}{3x+1}}=3 
& 
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
3x+1\neq0\\
\dfrac{5x-4}{3x+1} = 9
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4}{3x+1} - 9=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4}{3x+1} - \dfrac{9(3x+1)}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{5x-4-27x-9}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\sqrt{\dfrac{5x-4}{3x+1}}=3  
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
\dfrac{-22x-13}{3x+1}=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
-22x-13=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\dfrac{5x-4}{3x+1}\geqslant0 \\[8pt]
x\neq-\dfrac{1}{3}\\[8pt]
x=-\dfrac{13}{22}
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

\medskip

On calcule maintenant $\dfrac{5x-4}{3x+1}$ pour $x=-\dfrac{13}{22}$ afin de voir si cette solution est valable :
\[ \dfrac{5x-4}{3x+1} = 9>0.\]

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{13}{22}\right\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{x^2+x+1}=x+1 & \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x+1\geqslant0\\
x^2+x+1=(x+1)^2
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x\geqslant-1\\
x^2+x+1=x^2+2x+1
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
x^2+x+1\geqslant0\\
x\geqslant-1\\
x=0
\end{cases}
\end{aligned}$

On vérifie que $x^2+x+1\geqslant0$ pour $x=0$ (assez facilement) donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$.

\item $\begin{aligned}[t]
x\sqrt{7}+\sqrt{2}=\sqrt{7}-x\sqrt{2} & \Longleftrightarrow x\sqrt{7}+x\sqrt{2}=\sqrt{7}-\sqrt{2}\\
& \Longleftrightarrow x\big(\sqrt{7}+\sqrt{2}\big)=\sqrt{7}-\sqrt{2}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)}{\big(\sqrt{7}+\sqrt{2}\big)\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)}\\
& \Longleftrightarrow x = \dfrac{\big(\sqrt{7}\big)^2-2\sqrt{7}\times\sqrt{2}+\big(\sqrt{2}\big)^2}{\big(\sqrt{7}\big)^2-\big(\sqrt{2}\big)^2}\\
& \Longleftrightarrow x= \dfrac{9-2\sqrt{14}}{5}.
\end{aligned}$

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{ \dfrac{9-2\sqrt{14}}{5}\right\}}$.


\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{(x-2)(3x+4)}=2(3x+4) & \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
2(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)=\big[2(3x+4)\big]^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x+4\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)=4(3x+4)^2
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
3x\geqslant-4\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(x-2)(3x+4)-4(3x+4)^2=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)\big[(x-2)-4(3x+4)\big]=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)(x-2-12x-16)=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
(3x+4)(-11x-18)=0
\end{array}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
\left(
\begin{array}{l}
3x+4=0\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
-11x-18=0
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\sqrt{(x-2)(3x+4)}=2(3x+4) 
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\begin{array}{l}
x\geqslant-4/3\\
(x-2)(3x+4)\geqslant0\\
\left(
\begin{array}{l}
x=-\dfrac{4}{3}\\
\kern-0.7em\text{ou}\\
x=-\dfrac{18}{11}
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{cases}\\
\end{aligned}$

\medskip

On regarde maintenant si $(x-2)(3x+4)\geqslant0$ pour $x=-\dfrac{4}{3}$ et pour $x=-\dfrac{18}{11}$.

Pour $x=-\dfrac{4}{3}$, on obtient 0, donc cette valeur convient.

\medskip

Pour $x=-\dfrac{18}{11}$, on obtient $\dfrac{400}{121}>-\dfrac{4}{3}$ donc cette valeur convient.

\medskip

Ainsi, $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{4}{3}~;~-\dfrac{18}{11} \right\}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Inéquations et inégalités}

%%%

\begin{exocor}{nombre minimal de contrats}[1]
Le salaire d'un représentant est calculé de la façon suivante: un salaire fixe de 800 \euro, et une commission de 152 \euro{} sur chaque contrat qu'il vend.

\medskip

Quel nombre minimal de contrats doit-il vendre pour obtenir un salaire de \numprint{2300} \euro{} ?

\tcblower

Notons $x$ le nombre de contrats du représentant. Alors, son salaire se calcule en faisant:
\[
800 + 152x.
\]
On cherche donc $x$ tel que:
\begin{align*}
800 + 152x & \geqslant \numprint{2300}\\
152x & \geqslant \numprint{2300}-800\\
152x & \geqslant \numprint{1500}\\
x & \geqslant \frac{\numprint{1500}}{152}\\
x & \geqslant 9,87
\end{align*}

\uline{Il faut donc que le représentant vende au moins 10 contrats.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{résolutions graphiques}[1]

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8cm}
Résoudre graphiquement sur \intervFF{-5}{5} les inéquations suivantes à l'aide du graphique ci-contre:

\begin{enumerate}
\item $f(x)>g(x)$
\item $f(x)\geqslant0$
\item $g(x)\leqslant0$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dashed,gray!50] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[->,>=latex] (-5,0)--(5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-5)--(0,5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {$\x$};
\draw (0.2,\x) -- (-0.2,\x) node[left] {$\x$};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[red] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[violet] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\node[red] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\node[violet] at (4,-4.5) {$\mathcal{C}_g$};
\end{tikzpicture}

\medskip

\end{minipage}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)>g(x)$ : il faut regarder les portions de courbes de $\mathcal{C}_f$ qui sont au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6,every node/.style={scale=0.6}]
\draw[dashed,gray!50] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[->,>=latex] (-5,0)--(5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-5)--(0,5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {$\x$};
\draw (0.2,\x) -- (-0.2,\x) node[left] {$\x$};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[red] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[violet] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\node[red] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\node[violet] at (4,-4.5) {$\mathcal{C}_g$};
%
\draw[red,very thick] plot[domain=-1.65:0,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[red,thick] plot[domain=3:4,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[red,dashed] (-1.65, {0.5*(-1.65-3)*(-1.65-1)*(-1.65+2)}) -- (-1.65,0);
\draw[very thick,red] (-1.65,0) -- (0,0);
\draw[very thick,red] (3,0) -- (5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les intervalles de $x$ qui correspondent à ces \og morceaux \fg{} de courbes sont \intervOO{-1,6}{0} et \intervOF{3}{5} (les bornes ne sont pas incluses -- sauf 5 -- car l'inégalité doit être stricte :\linebreak $f(x)>g(x)$. L'ensemble solution est donc :
\[ \boxed{S = \intervOO{-1,6}{0}\cup\intervOF{3}{5}} \]


\item $f(x)\geqslant0$. Il faut regarder les portions de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont au-dessus de l'axe des abscisses.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dashed,gray!50] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[->,>=latex] (-5,0)--(5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-5)--(0,5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {$\x$};
\draw (0.2,\x) -- (-0.2,\x) node[left] {$\x$};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[red] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[violet,dotted] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\node[red] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\node[violet] at (4,-4.5) {$\mathcal{C}_g$};
%
\draw[red,very thick] plot[domain=-2:1,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[red,thick] plot[domain=3:4,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[very thick,red] (-2,0) -- (1,0);
\draw[very thick,red] (3,0) -- (5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution est :
\[ \boxed{S = \intervFF{-2}{1}\cup\intervFF{3}{5}} \]

\item $g(x)\leqslant0$. Il faut regarder ici les morceaux de la courbe $\mathcal{C}_g$ sous l'axe des abscisses.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,every node/.style={scale=0.75}]
\draw[dashed,gray!50] (-5,-5) grid (5,5);
\draw[->,>=latex] (-5,0)--(5,0);
\draw[->,>=latex] (0,-5)--(0,5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
\draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {$\x$};
\draw (0.2,\x) -- (-0.2,\x) node[left] {$\x$};
}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[red,dotted] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{0.5*(\x-3)*(\x-1)*(\x+2)});
\draw[violet] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\node[red] at (4,4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\node[violet] at (4,-4.5) {$\mathcal{C}_g$};
%
\draw[violet,very thick] plot[domain=-5:-3,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\draw[violet,very thick] plot[domain=3:5,samples=100] (\x,{-\x*\x/3+3});
\draw[very thick,violet] (-5,0) -- (-3,0);
\draw[very thick,violet] (3,0) -- (5,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution est :
\[ \boxed{S = \intervFF{-5}{-3}\cup\intervFF{3}{5}} \]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{moyennes arithmétiques et géométriques}[2]
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs tels que $a\neq b$.

On appelle \textit{moyenne arithmétique} de $a$ et $b$ le nombre $m=\dfrac{a+b}{2}$.

On appelle \textit{moyenne géométrique} de $a$ et $b$ le nombre $g=\sqrt{ab}$.

\medskip

Montrer que $g < m$.

\medskip

\textit{Aide:} on pourra regarder la démonstration de la propriété \ref{prop:inégalité sur les racines carrées} du cours de ce livre pour se donner une idée.

\tcblower

Pour tous nombres $a$ et $b$ positifs tels que $a\neq b$,
\begin{align*}
\big(\sqrt{a}-\sqrt{b}\big)^2 > 0 & \text{ donc }\big(\sqrt{a}\big)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\big(\sqrt{b}\big)^2 > 0\\[6pt]
& \text{ donc }a - 2\sqrt{ab} + b > 0\\[6pt]
& \text{ donc } a+b > 2\sqrt{ab}\\[6pt]
& \text{ donc } \dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\text{ (en divisant par 2, nombre positif)}\\[6pt]
& \text{ donc } m > g.
\end{align*}
\end{exocor}




\subsection*{Algorithmes et programmation}

%%% 

\begin{exocor}{algorithmes de seuil}[2]
On considère le nombre : $U_n=2^n$, où $n$ est un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de calculer et d'afficher la première valeur de $n$ pour laquelle $U_n > 10^{6}$.
\item \'Ecrire le programme Python qui correspond à cet algorithme.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Un algorithme possible est le suivant:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
Initialisation\\
\hspace*{1em}U $\leftarrow$ 1\\
\hspace*{1em}N $\leftarrow$ 0\\
Traitement\\
\hspace*{1em}Tant que U $\leqslant$ 1000000:\\
\hspace*{2em} N $\leftarrow$ N+1\\
\hspace*{2em} U $\leftarrow$ 2$^\text{N}$\\
\hspace*{1em}Fin du Tant Que\\
Sortie:
\hspace*{1em}Afficher N
\end{minipage}}
\end{center}

\item Le programme Python correspondant à cet algorithme est:
\begin{python}
u = 1
n = 0
while u <= 1000000:
    n = n + 1
    u = 2**n
print(n)
\end{python}

\bigskip

Il affiche la valeur \og 20 \fg, ce qui signifie que $2^{19}\leqslant10^6$ et $2^{20}>10^6$.

\vspace{1cm}~
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{algorithmes de seuil}[2]
On considère le nombre : $U_n=3^{-n}$, où $n$ est un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de calculer et d'afficher la première valeur de $n$ pour laquelle $U_n < 10^{-8}$.
\item \'Ecrire le programme Python qui correspond à cet algorithme.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.54\linewidth}
\item Un algorithme possible est le suivant:

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{0.75\linewidth}
\ttfamily
Initialisation\\
\hspace*{1em}U $\leftarrow$ 1\\
\hspace*{1em}N $\leftarrow$ 0\\
Traitement\\
\hspace*{1em}Tant que U $\geqslant$ 0.00000001:\\
\hspace*{2em} N $\leftarrow$ N+1\\
\hspace*{2em} U $\leftarrow$ 3$^\text{-N}$\\
\hspace*{1em}Fin du Tant Que\\
Sortie:
\hspace*{1em}Afficher N
\end{minipage}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
\item Le programme Python correspondant à cet algorithme est:
\begin{python}
u = 1 
n = 0
while u >= 0.00000001:
    n += 1
    u = 3**(-n)
print(n)
\end{python}
Il affiche la valeur \og 17 \fg, ce qui signifie que $3^{-16}\geqslant10^{-8}$ et $3^{-17}<10^{-8}$.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
