\chapter{Pourcentages et statistiques}

\newpage

\section{Pourcentages et proportions}

\subsection{Partie d'un tout}

\begin{prop}
On considère un ensemble constitué de $n$ éléments.

Dans cet ensemble, on considère un sous-groupe $A$ constitué de $x$ éléments.

\medskip

Le pourcentage représentant $x$ par rapport à $n$ est :
\[
\dfrac{x}{n}\times100.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Si une ville est constituée de \numprint{150000} habitants et qu'un quartier de cette ville compte \numprint{30000} habitants, alors le pourcentage correspondant est:
\[
\dfrac{\numprint{30000}}{\numprint{150000}}\times100=\pourcent{20}.
\]
Il y a donc \pourcent{20} des habitants de cette ville qui habitent dans ce quartier.
\end{exemple}

\subsection{Partie d'une partie}

\begin{prop}
On considère un ensemble $E$ constitué de $n$ éléments.

Dans cet ensemble, on considère un sous-groupe $A$ constitué de $x_A$\% éléments de $E$, et un sous-groupe $B$ de $A$ constitué de $x_B$\% éléments de $A$.

\medskip

Le pourcentage d'éléments dans $B$ par rapport à l'ensemble $E$ est alors:
\[
x_A \times x_B \%.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Dans une ville, \pourcent{20} des habitants résident dans un quartier $Q$.

Dans ce quartier, \pourcent{40} ont un salaire inférieur à \numprint{1100}\euro. Cela représente :
\[
\dfrac{20}{100}\times\dfrac{40}{100}=\dfrac{800}{\numprint{10000}}=\dfrac{8}{100}=\pourcent{8}
\]
de la ville.
\end{exemple}

\newpage

\section{\'Evolutions}

\subsection{\'Evolution simple}

\begin{prop}
Soit $x$ un nombre. 
\begin{enumerate}
\item Si $x$ \textcolor{blue}{\textit{augmente}} de $t$\% alors la valeur finale est égale à \textcolor{blue}{$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)x$}.
\item Si $x$ \textcolor{red}{\textit{diminue}} de $t$\% alors la valeur finale est égale à \textcolor{red}{$\left(1+\dfrac{t}{100}\right)x$}.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Un tee-shirt \og Adada \fg{} est normalement vendu à 150 \euro dans la boutique de monsieur Arnac. Il décide d'augmenter ce prix de \pourcent{20}. Le prix final sera alors :
\[
\left(\dfrac{1+20}{100}\right)\times150=1,2\times150=180\text{ \euro}.
\]

\item Dans la boutique de monsieur Bonepouar, ce même tee-shirt est à 110 \euro. Il décide de le solder à $\pourcent{-30}$. Le prix final sera alors :
\[
\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\times110=0,7\times110=77\text{ \euro}.
\]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{defin}
Lors d'une évolution de $t$\% (avec $t>0$ ou $t<0$), le nombre $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ es appelé le\linebreak \textit{coefficient multiplicateur} (en abrégé : CM).
\end{defin}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[ellipse,draw,text width=1.5cm,align=center] (A) at (0,0) {Valeur initiale};
\node[ellipse,draw,text width=1.5cm,align=center] (B) at (5,0) {Valeur finale};
\draw[->,>=latex] (A.north) to[bend left=20] (B.north);
\draw[->,>=latex] (A.south) to[bend right=20] (B.south);
\node at (2.5,2) {évolution de $t$\%};
\node at (2.5,-2) {$\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)=CM$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{rem}
On dit ici que l'évolution est \textit{relative} car elle dépend de la valeur initiale.
\end{rem}

\newpage
\begin{prop}
Soient deux valeurs $V_1$ et $V_2$, et soit $CM$ le coefficient multiplicateur représentant l'évolution de $V_1$ à $V_2$. Alors, 
\[
CM = \dfrac{V_2}{V_1}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Un article est passé de 150 \euro{} à 120 \euro. Le coefficient multiplicateur est donc :
\[
CM=\dfrac{120}{150}=0,8.
\]
\end{exemple}

\begin{rem}
Si $0<CM<1$ alors l'évolution est une réduction.

Si $CM>1$ alors l'évolution est une augmentation.
\end{rem}

\subsection{\'Evolutions successives}

\begin{prop}
Faire deux évolutions successives de $t_1$\% et $t_2$\% revient à multiplier par $\left(1+\dfrac{t_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{t_2}{100}\right)$.
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Un article vaut 150 \euro. Son prix diminue de \pourcent{10} puis augmente de \pourcent{10}. Le prix final est alors:
\[
150\times\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{10}{100}\right)=150\times0,9\times1,1=148,50\text{ \euro}.
\]

\item Un article coûte 140 \euro. Son prix subit une première hausse de \pourcent{5}, puis une seconde hausse de \pourcent{5}. Le prix final est alors:
\[
140\times\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2=140\times1,05^2=154,35\text{ \euro}.
\]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{rem}
Cette propriété revient à dire que lors de deux évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient:
\[
CM_{\text{global}}=CM_1 \times CM_2.
\]
\end{rem}

\newpage
\subsection{\'Evolution réciproque}


\begin{defin}
Soient deux valeurs $V_1$ et $V_2$, et soit $CM$ le coefficient multiplicateur représentant l'évolution de $V_1$ à $V_2$. Alors, le coefficient multiplicateur réciproque est:
\[
CMR = \dfrac{1}{CM} = \dfrac{V_1}{V_2}.
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[ellipse,draw,text width=1.5cm,align=center] (A) at (0,0) {Valeur initiale};
\node[ellipse,draw,text width=1.5cm,align=center] (B) at (5,0) {Valeur finale};
\draw[->,>=latex] (A.north) to[bend left=20] (B.north);
\draw[->,>=latex] (B.south) to[bend left=20] (A.south);
\node at (2.5,1.5) {$\times1,5=CM$};
\node at (2.5,-2) {$\times\dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}=CMR$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\section{Indicateurs d'une série statistique}

\subsection{Moyenne pondérée}

\begin{defin}
On considère la série statistique représentée par le tableau ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{defin}\color{white}}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Caractères $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$\\
\hline
Effectifs $n_i$ & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La \textbf{moyenne pondérée} de cette série est :
\[
\overline{x}=\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2+\cdots+n_px_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}.
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
Jean-Simon a obtenu en mathématiques les notes suivantes au cours du deuxième trimestre:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Notes & 18 & 12 & 8& 14\\
\hline
Coefficients & 1 & 2 & 3& 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Sa moyenne en mathématiques au deuxième trimestre est donc:
\[
\overline{x}=\dfrac{18\times1 + 12\times2 + 8\times3 + 14\times2}{1+2+3+2}=11,75.
\]
\end{exemple}

\begin{prop}
On considère deux séries statistiques $S_1$ et $S_2$ :
\begin{itemize}
\item $S_1$ a pour effectif total $N_1$, et a pour moyenne $\overline{x}_1$;
\item $S_2$ a pour effectif total $N_2$, et a pour moyenne $\overline{x}_2$.
\end{itemize}
Alors, la moyenne de la série constituée des deux séries $S_1$ et $S_2$ a pour moyenne:
\[
\overline{x}=\dfrac{N_1\times\overline{x}_1 + N_2\times\overline{x}_2}{N_1+N_2}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Monsieur Lessadic fait un même contrôle à ses deux classes de Seconde.
\begin{itemize}
\item En Seconde A, la moyenne est égale à 11,2 sur un effectif total de 25 élèves.
\item En Seconde B, la moyenne est égale à 7,8 sur un effectif total de 32 élèves.
\end{itemize}
La moyenne générale sur ces deux classes à ce contrôle est donc:
\[
\overline{x}=\dfrac{25\times11,2 + 32\times7,8}{25+32}\approx9,3.
\]
\end{exemple}

\begin{prop}[linéarité de la moyenne]
On considère une série statistique $S=\big\{\coord{x_i}{n_i}\big\}_{1\leqslant i \leqslant p}$, de moyenne $\overline{x}$.

Alors, la moyenne de la série $S'=\big\{\coord{ax_i+b}{n_i}\big\}_{1\leqslant i \leqslant p}$ (obtenue en multipliant par $a$ toutes les valeurs de la série $S$ et en leur ajoutant $b$) est:
\[
\overline{x}' = a\overline{x}+b.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Monsieur Lessadic constate que la moyenne générale de ses deux classes de Seconde est égale à 9,3. Il souhaite que cette moyenne soit égale à 10. Il a plusieurs possibilités, dont: 
\begin{itemize}
\item 1\iere{} possibilité : il ajoute 0,7 point à chaque note; dans ce cas, il obtient une série\linebreak $S'=\big\{\coord{x_i+0,7}{n_i}\big\}$ et la moyenne de cette nouvelle série est alors:
\[
\overline{x}' = \overline{x} + 0,7 = 9,3 + 0,7 = 10.
\]


\item 2\ieme{} possibilité : il multiplie toutes les notes par $\dfrac{10}{9,3}$. Il obtient donc une série\linebreak $S'=\big\{\coord{\frac{10}{9,3}x_i}{n_i}\big\}_{1\leqslant i \leqslant p}$ dont la moyenne est :
\[
\overline{x}'=\dfrac{10}{9,3}\times\overline{x}=\dfrac{10}{9,3}\times9,3=10.
\]
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{\'Ecart interquartile}

\begin{defin}[quartiles]
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{premier quartile} d'une série statistique, et on note $Q_1$, la valeur du caractère pour lequel \pourcent{25} des valeurs lui sont inférieures.
\item On appelle \textbf{troisième quartile} d'une série statistique, et on note $Q_3$, la valeur du caractère pour lequel \pourcent{75} des valeurs lui sont inférieures.
\item On appelle \textbf{écart interquartile} le nombre $Q_3-Q_1$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
On considère la série statistique suivante, représentant les diverses notes d'une classe lors d'un contrôle noté sur 10:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (tableau) {
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sl|*3{Sc|}>{\columncolor{exemple!40}}Sc|*3{Sc|}>{\columncolor{exemple!60}}Sc|*3{Sc|}}
\hline
Notes & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
Effectifs & 1&1&2&5&3&8&6&5&3&1&1\\
\hline
E.c.c. & 1 & 2 & 4  & 9  &12&20&26&31&34&35&36\\
\hline
\end{tabular}};
\draw [decorate,decoration={brace,mirror,amplitude=10pt}] (tableau.196) -- (tableau.230) node [midway,yshift=-0.45in,text width=20mm,align=center] {\pourcent{25} de l'effectif total};
\draw [decorate,decoration={brace,mirror,amplitude=10pt}] ($(tableau.196)+(0,-2)$) -- ($(tableau.340)+(0,-2)$) node [midway,yshift=-0.45in,text width=40mm,align=center] {\pourcent{75} de l'effectif total sont dépassés};
\draw[dashed] (tableau.196) -- ($(tableau.196)+(0,-2)$);
\draw[dashed] (tableau.340) -- ($(tableau.340)+(0,-2)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $Q_1=3$ car pour la note \og 3 \fg, on a atteint un effectif cumulé croissant (E.c.c.) de 9, qui est le quart (\pourcent{25}) de l'effectif total (36).
\item $Q_3=7$ car pour la note \og 7 \fg, on a dépassé les $\dfrac{3}{4}$ (les \pourcent{75}) de l'effectif total.
\item L'écart interquartile est donc $Q_3-Q_1=7-3=4$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Variance et écart-type}

\begin{defin}
On considère une série statistique $S=\big\{\coord{x_i}{n_i}\big\}_{1\leqslant i \leqslant p}$, de moyenne $\overline{x}$.
\begin{itemize}
\item La \textbf{variance} de la série est la valeur $V$ telle que:
\[
V=\dfrac{n_1(x_1-\overline{x})^2 + n_2(x_2-\overline{x})^2 + \cdots + n_p(x_p-\overline{x})^2 }{n_1+n_2+\cdots+n_p}.
\]
\item L'\textbf{écart-type} de la série est la valeur $\sigma$ telle que :
\[
\sigma = \sqrt{V}.
\]
\end{itemize}
\end{defin}


\begin{exemple}
\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
\begin{multicols}{2}
On considère la série représentée par le\linebreak tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline
\rowcolor{exemple}
\textcolor{white}{$n_i$} & \textcolor{white}{$x_i$} \\
\hline
6 & 7  \\
\hline
3 & 8 \\
\hline
4 & 9 \\
\hline
3 & 10 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Sa moyenne est $\overline{x}=8,25$.

\columnbreak

On considère alors la série dont les\linebreak effectifs sont les mêmes mais où les valeurs sont égales à $(x_i-\overline{x})^2$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline
\rowcolor{exemple}
\textcolor{white}{$n_i$}  & \textcolor{white}{$(x_i-\overline{x})^2$}\\
\hline
6 & 1,5625 \\
\hline
3 & 0,0625 \\
\hline
4  & 0,5625 \\
\hline
3  & 3,0625 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

La variance est la moyenne de cette nouvelle série:
\[
V=\dfrac{6\times1,5625 + \cdots + 3\times3,0625}{6+3+4+3}=1,3125.
\]
\end{multicols}

L'écart-type est donc:
\[
\sigma=\sqrt{1,3125}\approx1,15.
\]
\end{exemple}

\exercices

\subsection*{Pourcentages}

%%%

\begin{exocor}{calculs de pourcentages}[1]
Le tableau suivant donne la répartition des élèves d'une classe de Seconde suivant leur genre et le type de leur résidence.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{numpageenonce!30}}l|c|c|c|}
\hline
\color{numpageenonce}\diagbox{\textcolor{black}{genres}}{\textcolor{black}{résidence}} &\cellcolor{numpageenonce!30} Appartement &\cellcolor{numpageenonce!30} Maison &\cellcolor{numpageenonce!30} Total\\
\hline
Masculin & 5 & 15 & 20\\
\hline
Féminin & 4 & 12 & 16\\
\hline
Total &  9 & 27 & 36\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textit{Les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.}
\begin{enumerate}
\item À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves garçons vivant en appartement par rapport à l'ensemble de la classe ?
\item À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves garçons vivant en appartement par rapport à l'ensemble des garçons ?
\item À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves filles vivant en maison par rapport à l'ensemble des élèves vivant en maison ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \textit{À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves garçons vivant en appartement par rapport à l'ensemble de la classe ?}

\medskip

Il y a 5 garçons qui vivent en appartement sur les 36 élèves de la classe. Cela représente :
\[
\dfrac{5}{36}\times100\approx\pourcent{13,89}.
\]

\item \textit{À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves garçons vivant en appartement par rapport à l'ensemble des garçons ?}

\medskip

Il y a 5 garçons qui vivent en appartement sur les 20 garçons. Cela représente :
\[
\dfrac{5}{20}\times100=\pourcent{25}.
\]

\begin{rem}
Par rapport à 20, 5 représente le quart, donc \pourcent{25}. C'est un pourcentage à connaître, au même titre que la moitié correspond à \pourcent{50}.
\end{rem}


\item \textit{À quel pourcentage correspond le nombre d'élèves filles vivant en maison par rapport à l'ensemble des élèves vivant en maison ?}

\medskip

Il y a 12 filles qui vivent en maison sur les 27 élèves vivant en maison. Cela représente :
\[
\dfrac{12}{27}\times100\approx\pourcent{44,44}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux d'évolution simples}[1]
Calculer, dans chacun des cas suivants, le taux d'évolution pour passer de la valeur $x_1$ à la valeur $x_2$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x_1=20$ et $x_2=130$.
\item $x_1=15$ et $x_2=70$.
\item $x_1=150$ et $x_2=100$.
\item $x_1=200$ et $x_2=10$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100=\dfrac{130-20}{20}\times100=\dfrac{110}{20}\times100=550$.

\medskip

\underline{Le taux d'évolution est donc égal à \pourcent{550}.}

\bigskip

\item $\dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100=\dfrac{70-15}{15}\times100=\dfrac{55}{15}\times100\approx366,67$.

\medskip

\underline{Le taux d'évolution est donc égal à \pourcent{366,67}.}

\bigskip

\item $\dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100=\dfrac{100-150}{150}\times100=\dfrac{-50}{150}\times100\approx-33,33$.

\medskip

\underline{Le taux d'évolution est donc égal à $-\pourcent{33,33}$.}

\bigskip

\item $\dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100=\dfrac{10-200}{200}\times100=\dfrac{-190}{200}\times100=-95$.

\medskip

\underline{Le taux d'évolution est donc égal à $-\pourcent{95}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux d'évolution simples}[1]
\begin{enumerate}
\item Un article coûtant 20 \euro{} en temps normal est en solde à \og $-\pourcent{15}$ \fg. Calculer le prix de cet article pendant ces soldes.

\item Un article vaut, après réduction de \pourcent{15}, 21,25 \euro. Quel est le prix de cet article avant réduction ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $20\times\left(1-\dfrac{20}{100}\right)=20\times0,8=16$.

\underline{L'article vaut donc 16 \euro{} pendant ces soldes.}

\item $21,25\div\left(1-\dfrac{15}{100}\right)=25$.

\underline{L'article vaut donc, avant réduction, 25 \euro.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{évolution réciproque}[1]
Une valeur subit une évolution de \pourcent{30}.

Quelle doit \^etre l'évolution suivante pour revenir à la valeur initiale ?

\tcblower

Le CM correspondant à \pourcent{30} est égal à 1,3. Le CM inverse est donc égal à :
\[
\dfrac{1}{1,3}\approx0,77\;,
\]
ce qui correspond à une évolution de $-\pourcent{23}$.

\medskip

\underline{L'évolution doit donc être de $-\pourcent{23}$ pour revenir à la valeur initiale.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{prix du timbre}[1]
Le coût d'un timbre poste pour une lettre normale a été de :

\begin{center}
\arrayrulecolor{numpageenonce}
\begin{tabular}{|*4{Sc|}}
\hline\rowcolor{numpageenonce!30}
1990 & 1993 & 1994 & 2021\\
\hline
0,34 \euro & 0,38 \euro & 0,43 \euro & 0,95 (*)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
(*) tarif pour un écopli (tarif le plus bas)

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du prix du timbre entre 1990 et 1993 ? Entre 1993 et 1994 ? Entre 1990 et 2021 ?
\item À l'aide d'un tableur ou de Python, par exemple, trouver le pourcentage moyen annuel d'évolution entre 1990 et 2021.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Entre 1990 et 1993, le prix du timbre est passé de 0,34 \euro{} à 0,38 \euro{}. Le pourcentage d'évolution est donc:
\[
\dfrac{0,38-0,34}{0,34}\times100\approx\pourcent{11,76}.
\]

\item Entre 1993 et 1994, le prix du timbre est passé de 0,38 \euro{} à 0,43 \euro{}. Le pourcentage d'évolution est donc:
\[
\dfrac{0,43-0,38}{0,38}\times100\approx\pourcent{13,16}.
\]

\item Entre 1990 et 2021, le prix du timbre est passé de 0,34 \euro{} à 0,95 \euro{}. Le pourcentage d'évolution est donc:
\[
\dfrac{0,95-0,34}{0,34}\times100\approx\pourcent{179,4}.
\]
\end{itemize}

\item Notons $t$ le pourcentage moyen annuel d'évolution entre 1990 et 2021, soit sur 31 ans. Il faut alors que :
\[
\left(1+\frac{t}{100}\right)^{31}\approx1+\frac{179,4}{100}\approx2,794.
\]
(le coefficient multiplicateur global sur 31 ans doit être le même que celui qui nous permet de voir l'évolution de 1990 à 2021).

On pourrait écrire une boucle en Python calculant les valeurs successives de $\left(1+\frac{t}{100}\right)^{31}$ pour $t$ variant de 1 à 10 par exemple :

\begin{python*}
for t in range(10):
    print( t, (1+t/100)**31 )
\end{python*}
\begin{console}
0 1.0
1 1.3613274044862351
2 1.847588815785422
3 2.500080345325352
4 3.3731334104286432
5 4.538039493908201
6 6.088100643288055
7 8.145112895648387
8 10.867669440199327
9 14.461769531353092
\end{console}

On peut alors voir que $3<t<4$.  On peut ensuite calculer les valeurs de $\left(1+\frac{t}{100}\right)^{31}$ pour $3+\frac{t}{100}$, pour $t$ variant de 0 à 99:

\begin{python*}
for t in range(100):
    print( 3+t/100, (1+(3+t/100)/100)**31 )
\end{python*}
\begin{console}
...
3.36 2.7856562290189264
3.37 2.7940231777974414
3.38 2.8024144443710957
...
\end{console}
\underline{On constate alors que le pourcentage moyen annuel d'augmentation est $t\approx3,37$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{évolutions successives}[1]
Le prix d'un article subit une hausse de \pourcent{20}, puis une baisse de \pourcent{10}.

Quel est le taux d'évolution global ?

\tcblower

Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de \pourcent{20} est égal à 1,2 ; celui correspondant à une baisse de \pourcent{10} est égal à 0,9.

Ainsi, le coefficient multiplicateur global est égal à $1,2\times0,9$, soit 1,08, ce qui correspond à une hausse de \pourcent{8}.

\bigskip

\underline{Le taux d'évolution global est donc égal à \pourcent{8}.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{hausse et baisse successives}[2]
Une valeur est augmentée de $\pourcent{t}$, puis diminuée de $\pourcent{t}$, où $t>0$.

Existe-t-il une valeur de $t$ telle que le nombre final soit égal au nombre initial ?

\tcblower

Le coefficient multiplicateur global (CMG) est égal à $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1-\dfrac{t}{100}\right)=1-\dfrac{t^2}{\numprint{10000}}$.

Pour que le nombre final soit égal au nombre initial, il faudrait que le CMG soit égal à 1, ce qui ne peut pas être le cas car $\dfrac{t^2}{\numprint{10000}}\neq 0$.

\bigskip

\underline{Il n'existe donc aucun pourcentage correspondant à ce que l'on veut.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{retour à l'état initial}[2]
Une valeur est augmentée de $\pourcent{t}$, puis diminuée de $\pourcent{t'}$, où $t>0$ et $t'>0$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $t'$ en fonction de $t$ de sorte que le nombre final soit égal au nombre initial.

\item Calculer alors $t'$ quand $t=20$.
\vspace*{-5mm}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur global (CMG) est égal à :
\[ 
\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1-\dfrac{t'}{100}\right).
\]

On souhaite que le CMG soit égal à 1 d'où :

\begin{align*}
\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1-\dfrac{t'}{100}\right) = 1 & \Leftrightarrow 1-\dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1+\tfrac{t}{100}}\\[1em]
& \Leftrightarrow 1-\dfrac{t'}{100}=\dfrac{100}{100+t}\\[1em]
& \Leftrightarrow -\dfrac{t'}{100}=\dfrac{100}{100+t}-1\\[1em]
& \Leftrightarrow \dfrac{t'}{100}=1-\dfrac{100}{100+t}\\[1em]
& \Leftrightarrow t'=100-\dfrac{\numprint{10000}}{100+t}\\[1em]
& \Leftrightarrow t'=\dfrac{\numprint{10000}+100t-\numprint{10000}}{100+t}\\[1em]
& \Leftrightarrow \boxed{t'=\dfrac{100t}{100+t}}
\end{align*}

\item Si $t=20$, alors $t'=\dfrac{100\times 20}{100+20}=\dfrac{\numprint{2000}}{120}=\dfrac{200}{12}=\dfrac{50}{3}\approx16,67$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux d'évolution moyen}[2]
On considère deux évolutions successives $\pourcent{t_1}$ et $\pourcent{t_2}$.

On appelle \textit{taux d'évolution moyen} le pourcentage $\pourcent{t}$ tel que, si l'on effectue deux évolutions successives de $\pourcent{t}$, on obtient la même évolution globale.

\medskip

Calculer le taux d'évolution moyen lorsque $t_1=\pourcent{6}$ et $t_2=\pourcent{10}$.

\tcblower

Le CMG est égal ici à $1,06 \times 1,1 = 1,116$.

Si les deux augmentations sont égales à $\pourcent{t}$, alors le CMG est égal à $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^2$.

Ainsi, on veut :
\begin{align*}
\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^2=1,116 & \Leftrightarrow 1+\dfrac{t}{100}=\sqrt{1,116}\\[1em]
& \iff \dfrac{t}{100}=\sqrt{1,116}-1\\[1em]
& \iff t = 100\left(\sqrt{1,116}-1\right) \approx 5,64.
\end{align*}

\underline{Le taux moyen d'évolution est donc égal ici à \pourcent{5,64}.}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{taux d'évolution moyen, le retour}[2]
Une grande entreprise souhaite voir le prix de ses prestations augmenter de \pourcent{30} sur 5 ans.

Les journalistes disent alors que cela fera une augmentation annuelle moyenne de \pourcent{6}. Ont-ils raison ?

\tcblower
 
Prenons un tarif au hasard : $x=100$.

S'il subit 5 hausses successives de \pourcent{6}, alors le CMG est égal à :
\[
1,06^5=\numprint{1,338225578}.
\]

\`A la fin, le tarif sera égal à :
\[
100\times\numprint{1,338225578}=\numprint{133,8225578}.
\]

Or, 
\[
\dfrac{\numprint{133,8225578}-100}{100}\times100=33,8225578.
\]

Donc l'augmentation sera de \pourcent{33,82}, et non \pourcent{30}.

\medskip

\underline{Les journalistes ont donc tort de diviser le pourcentage total par le nombre d'années.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{un peu de tout...}[2]
\begin{enumerate}
\item Le prix initial d'un parfum est 80 \euro. Il bénéficie d'une baisse de \pourcent{70} lors du Black Friday.

\textit{À quel prix sera vendu ce parfum ce jour-là ?}

\item En 2017, 224 femmes ont été élues députées à l'Assemblée Nationale française. Elles représentaient \pourcent{38,8} du nombre total de députés.

\textit{Quel était le nombre de députés à l'Assemblée Nationale ?}

\item En 2015, la ville de Porto-Vecchio, en Corse, comptait \numprint{11826} habitants, en augmentation de \pourcent{7,17} par rapport à 2010.

\textit{Combien cette ville comptait-elle d'habitants en 2010 ?}

\item Fin 2017, il y avait \numprint{173000} sites de e-commerce actifs en France.

Fin 2018, il y en avait \numprint{182000}.

\textit{Calculer le taux d'évolution (en pourcentage) du nombre de sites de e-commerce entre ces deux dates (donner une valeur approchée au dixième).}

\item Une commune organise chaque année une course à pieds dans ses rues. En 2017, le nombre de participants a augmenté de \pourcent{20} par rapport à l'année précédente, mais en 2018, il a baissé de \pourcent{12} par rapport à 2017.
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global, en pourcentage, du nombre de participants entre 2016 et 2018.
\item Quelle doit être l'évolution (en pourcentage) du nombre de coureurs de 2018 à 2019 pour que l'évolution globale de 2017 à 2019 soit $+0,32$\% ?
\end{enumerate}

\item Quel est le taux d'évolution réciproque d'une baisse de \pourcent{43}?

\item Une entreprise possède \pourcent{34} de cadres, dont \pourcent{85} parlent couramment anglais.

Quel est dans l'entreprise le pourcentage de salariés qui sont des cadres parlant couramment anglais ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item \textbf{Le prix initial d'un parfum est 80 \euro. Il bénéficie d'une baisse de \pourcent{70} lors du Black Friday.}

Cela signifie que ce parfum est vendu à un prix égal à \pourcent{30} du prix initial, soit:
\[
\dfrac{30}{100}\times80 = 0,3 \times 80 = 24 \text{ \euro}.
\]

\item \textbf{En 2017, 224 femmes ont été élues députées à l'Assemblée Nationale française. Elles représentaient \pourcent{38,8} du nombre total de députés.}

Notons $x$ le nombre de députés cherché.

On sait que:
\[
\dfrac{38,8}{100}\times x = 224\qquad\text{soit}\quad 0,388x = 224.
\]
Ainsi,
\[
x = \dfrac{224}{0,338} = 577.
\]
\uline{Il y avait donc 577 députés à l'Assemblée Nationale (ce qui est toujours le cas).}

\item \textbf{En 2015, la ville de Porto-Vecchio, en Corse, comptait \numprint{11826} habitants, en augmentation de \pourcent{7,17} par rapport à 2010.}

Notons $c$ le nombre d'habitants de la ville en 2010, avant l'augmentation de \pourcent{7,17}. Alors,
\[
\left(1+\dfrac{7,17}{100}\right)x=\numprint{11826}\qquad\text{soit}\qquad 1,0717x = \numprint{11826}.
\]
On en déduit alors que:
\[
x = \dfrac{\numprint{11826}}{1,0717}=\numprint{11035}.
\]

\newpage

\item \textbf{Fin 2017, il y avait \numprint{173000} sites de e-commerce actifs en France. Fin 2018, il y en avait \numprint{182000}.}

Le taux d'évolution est donc, en pourcentage:
\[
\dfrac{\numprint{182000}-\numprint{173000}}{\numprint{173000}}\times100 \approx \pourcent{5,2}.
\]

\item \textbf{Une commune organise chaque année une course à pieds dans ses rues. En 2017, le nombre de participants a augmenté de \pourcent{20} par rapport à l'année précédente, mais en 2018, il a baissé de \pourcent{12} par rapport à 2017.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Calculer le taux d'évolution global, en pourcentage, du nombre de participants entre 2016 et 2018.}

Le coefficient multiplicateur entre 2016 et 2017 est:
\[
CM_1 = 1+\dfrac{20}{100} = 1,2.
\]
Le coefficient multiplicateur entre 2017 et 2018 est:
\[
CM_2 = 1-\dfrac{12}{100} = 0,88.
\]
Le coefficient multiplicateur global entre 2016 et 2018 est donc:
\[
CM = CM_1 \times CM_2 = 1,2 \times 0,88 = 1,056.
\]
Ce qui signifie que globalement, le nombre de participants à augmenté (car $CM>1$) de \pourcent{5,6}. 


\item \textbf{Quelle doit être l'évolution (en pourcentage) du nombre de coureurs de 2018 à 2019 pour que l'évolution globale de 2017 à 2019 soit $+0,32$\% ?}

Fouillouillou ! C'est compliqué tout ça... :-)  Non, pas tant que ça finalement: c'est le même raisonnement que précédemment sauf que nous avons une inconnue à trouver.

Le coefficient multiplicateur entre 2017 et 2018 est:
\[
CM_2 = 0,88.
\]
Notons $CM_3$ celui entre 2018 et 2019.

Le coefficient multiplicateur global entre 2017 et 2019 est donc:
\[
CM' = CM_2 \times CM_3 =  0,88 \times CM_3.
\]
Mais on sait que sa valeur doit être:
\[
CM' = 1 + \dfrac{0,32}{100} = 1,0032.
\]
Donc:
\[
0,88 \times CM_3 = 1,0032 \qquad\text{soit}\qquad CM_3=\dfrac{1,0032}{0,88}=1,14.
\]
\uline{Ainsi, l'évolution entre 2018 et 2019 doit être de $+14$\%.}
\end{enumerate}

\item \textbf{Quel est le taux d'évolution réciproque d'une baisse de \pourcent{43}?}

Partons d'une valeur $x$ et baissons-la de \pourcent{43} pour obtenir une valeur $y$. Alors,
\[
(1-0,43)x = y \qquad \text{soit}\qquad 0,57x = y.
\]
Ainsi,
\[
x = \dfrac{1}{0,57}y
\]
soit:
\[
x \approx 1,7544 y
\]
Par conséquent, pour passer de $y$ à $x$ (donc pour faire l'évolution réciproque), il faut multiplier par:
\[
1 + 0,7544 = 1 + \dfrac{75,44}{100}.
\]
\uline{Donc le taux d'évolution réciproque est $+$\pourcent{75,44}.}

\item \textbf{Une entreprise possède \pourcent{34} de cadres, dont \pourcent{85} parlent couramment anglais.}

Pour connaître le pourcentage de salariés qui sont des cadres parlant couramment anglais, on fait:
\[
\dfrac{85}{100} \times \dfrac{34}{100} \times 100 = 0,85 \times 0,34 \times 100 = 28,9.
\]
\uline{Il y a donc \pourcent{28,9} de salariés qui sont des cadres parlant couramment anglais.} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

\newpage
\enlargethispage*{5em}

\subsection*{Dans la vraie vie...}

%%%

\begin{exocor}{consommation d'électricité}[2]
\begin{enumerate}
\item  La capture d'écran suivante a été faite sur le site internet d'un fournisseur d'électricité:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {\includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/pourcentages-edf-1.jpg}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donnez le calcul ayant permis de trouver  \og \pourcent{77} \fg.

\item La capture d'écran suivante a été faite sur le même site internet en cliquant sur l'onglet \og Euros \fg.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {\includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/pourcentages-edf-2.jpg}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Vérifiez que le pourcentage affiché est correct.

\item Sachant que ces deux pourcentages portent sur la même période, que vous inspire cette différence de pourcentages ? 

\item Le client voit ses deux captures d'écran:

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {\includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/pourcentages-edf-3.jpg}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {\includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/pourcentages-edf-4.jpg}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

Quelle est l'évolution du montant de sa facture entre début 2022 et fin 2024 ?(en pourcentage)
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour obtenir le pourcentage d'évolution, on fait le calcul suivant:
\[
\dfrac{858-\numprint{3679}}{\numprint{3679}}\times100 \approx -\pourcent{76,678} \approx -\pourcent{77}.
\]

\item Pour obtenir le pourcentage d'évolution, on fait le calcul suivant:
\[
\dfrac{351-\numprint{1048}}{\numprint{1048}}\times100 \approx -\pourcent{66,50763} \approx -\pourcent{67}.
\]

\item Les pourcentages portant sur une même période, le fait que les pourcentages différent alors qu'ils portent sur les mêmes consommations d'énergie signifie que le tarif de cette énergie a changé. 

Ici, comme le pourcentage portant sur les montants (en euros) est plus petit que celui de la consommation (en kWh), cela signifie que les tarifs ont augmenté.

\item Le montant de sa facture a augmenté de \pourcent{6} la première année, puis de \pourcent{6} la seconde année.

Le coefficient multiplicateur global est alors:
\[
\left(1+\frac{6}{100}\right)^2 = 1,1236
\]
ce qui signifie que le montant de sa facture a augmenté de:
\[
(1,1236-1)\times100 = \pourcent{12,36}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Indicateurs d'une série statistique}

%%%

\begin{exocor}{moyenne, e.c.c. et médiane}[1]
Le tableau ci-dessous donne la répartition des diverses notes d'une classe de 35 élèves à un contrôle.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}}Sl*{11}{|Sc}|>{\columncolor{numpageenonce!30}}Sc|}
\hline
Notes & 2 & 4 & 5 & 6 & 9 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 & Total\\
\hline
Effectifs & 1 & 3 & 2 & 2 & 6 & 4 & 4 & 5 & 3 & 3 & 2 & 35\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter ce tableau en calculant les fréquences à $10^{-3}$ près, et les effectifs cumulés croissants et décroissants.
%\item Construire le polygone des effectifs cumulés croissants et celui des effectifs cumulés décroissants.
\item Donner la médiane de la série statistique.
\item Calculer la moyenne de la série statistique et comparer à la médiane.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est : 

\medskip

\arrayrulecolor{numpagecorrige}
\scalebox{0.75}{%
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl*{11}{|Sc}|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sc|}
\hline
Notes & 2 & 4 & 5 & 6 & 9 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 & Total\\
\hline
Effectifs & 1 & 3 & 2 & 2 & 6 & 4 & 4 & 5 & 3 & 3 & 2 & 35\\
\hline
Fréquences & 0,029 & 0,086 & 0,057 & 0,057 & 0,171 & 0,114 & 0,114 & 0,143 & 0,086 & 0,086 & 0,057 & 1\\
\hline
e.c.c. & 1 & 4 & 6 & 8 & 14 & 18 & 22 & 27 & 30 & 33 & 35 & \\
\hline
\end{tabular}}

\medskip

\item Les effectifs cumulés croissants dépassent \pourcent{50} de l'effectif total (soit 17,5) pour la note 11.

La médiane est donc ici égale à $m_e=11$.

\medskip

\item La moyenne de la série statistique est :
\begin{align*}
\overline{x} & = \frac{2\times1 + 4\times3 + 5\times2 +\cdots+15\times 3+16\times 3+18\times2}{1+3+2+\cdots+3+3+2}\\[8pt]
& = \frac{381}{35}\\[8pt]
\Aboxed{\overline{x} & \approx 10,9}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{moyenne, e.c.c. et médiane avec classes}[1]
Un relevé des durées des communications téléphoniques effectué dans un central téléphonique a fourni les informations consignées dans le tableau suivant (l'unité de durée est la minute) :

\begin{center}
\arrayrulecolor{numpageenonce}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}}Sl*6{|Sc}|}
\hline
Intervalles de durée & \intervFO{0}{2} & \intervFO{2}{4} & \intervFO{4}{6} & \intervFO{6}{8} & \intervFO{8}{10} & \intervFO{10}{12}\\
\hline
Effectifs & 14 & 16 & 25 & 15 & 17 & 13\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la durée moyenne d'un appel.
\item Dans quel intervalle se trouve la médiane.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La durée moyenne se calcule ainsi :
\begin{align*}
\overline{x} & =\frac{1\times 14+3\times 16+5\times 25+7\times 15+9\times 17+11\times 13}{14+16+25+15+17+13}\\
& = \frac{588}{100}\\
& =5,88\\
& = 5\text{ min}+0,88\times60\text{ sec}
\end{align*}
\underline{La durée moyenne d'un appel est donc d'à peu près 5 minutes et 53 secondes.}

\newpage

\item Complétons le tableau avec la ligne des effectifs cumulés croissants (E.c.c):

\begin{center}
\arrayrulecolor{numpagecorrige}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!30}}Sl*6{|Sc}|}
\hline
Intervalles de durée & \intervFO{0}{2} & \intervFO{2}{4} & \intervFO{4}{6} & \intervFO{6}{8} & \intervFO{8}{10} & \intervFO{10}{12}\\
\hline
Effectifs & 14 & 16 & 25 & 15 & 17 & 13\\
\hline
E.c.c. &    14 & 30 & 55 & 70 & 87 & 100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\pourcent{50} de l'effectif total (soit 50) sont atteints et dépassés pour \intervFO{4}{6}.

\underline{Ainsi, la médiane appartient à \intervFO{4}{6}.}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}~
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{calculs avec classes}[1]
On considère la série statistique suivante :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}}Sl*5{|Sc}|}
\hline
Classes & \intervFO{0}{3} & \intervFO{3}{6} & \intervFO{6}{12} & \intervFO{12}{20} & \intervFF{20}{25}\\
\hline
Effectifs & 10& 15& 10& 20& 25\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les effectifs cumulés croissants.

En déduire l'intervalle dans lequel se trouve la médiane de la série statistique.

\item En assimilant chaque classe à son centre, calculer une valeur approchée de la moyenne de la série statistique.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl*5{|Sc}|}
\hline
Classes & [0 ;3[& [3 ;6[ &[6 ;12[& [12 ;20[ &[20 ;25]\\
\hline
Effectifs & 10& 15& 10& 20& 25\\
\hline
E.c.c. & 10 & 25 & 35 & 55 & 80\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\uline{\pourcent{50} de l'effectif total sont dépassés dans [12;20[, donc la médiane appartient à cet intervalle.}

\item La moyenne est :
\begin{align*}
\overline{x} & =\frac{2\times 10 + 4,5\times 15 +9\times 10 + 16\times 20 + 22,5\times 25}{10+ 15+10+20+25}\\
\Aboxed{\overline{x} & \approx 13,2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{notes de deux classes}[1]
Un professeur a en charge deux classes de Seconde. Il souhaite comparer les résultats de ces deux classes sur le dernier contrôle à l'aide des tableaux suivants :

\medskip

{\scshape\bfseries Notes de la Seconde 1}

\medskip


\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 2 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 & 18\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 2 & 5 & 3 & 6 & 5 & 6 & 1 &  1 & 1\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

{\scshape\bfseries Notes de la Seconde 2}

\medskip
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*{16}{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 1 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 5 & 4 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne des deux classes.
\item Calculer la variance, puis l'écart-type, des deux classes.
\item Déterminer la médiane ainsi que l'écart inter-quartile.
\item Comparer alors les résultats de ces deux classes.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item  
\begin{itemize}
\item \textbf{Moyenne de la Seconde 1 :}

$\begin{aligned}[t]
\overline{x}_1 & = \dfrac{2\times1+5\times1+6\times2+\cdots+15\times1+18\times1}{1+1+2+\cdots+1+1} = \dfrac{312}{32}\\
\Aboxed{\overline{x}_1 & \approx 9,75}
\end{aligned}$

\item \textbf{Moyenne de la Seconde 2 :}

$\begin{aligned}[t]
\overline{x}_2 & = \dfrac{1\times1+2\times1+3\times1+\cdots+15\times1+16\times1}{1+1+1+\cdots+1+1} = \dfrac{286}{35}\\
\Aboxed{\overline{x}_2 & \approx 8,17}
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item Pour la Seconde 1, la variance est : $\text{V}_1=\dfrac{173}{16}\approx10,81$.

Ainsi, son écart-type est : $\sigma_1=\sqrt{\text{V}_1}=\dfrac{\sqrt{173}}{4}\approx 3,29$.

\medskip

Pour la Seconde 2, la variance est : $\text{V}_2=\dfrac{\numprint{15014}}{\numprint{1225}}\approx12,26$.

Ainsi, son écart-type est : $\sigma_2=\sqrt{\text{V}_2}=\dfrac{\sqrt{\numprint{15014}}}{35}\approx3,5$.

\item Complétons les deux tableaux avec la ligne des effectifs cumulés croissants :

\medskip

{\scshape\bfseries Notes de la Seconde 1}

\medskip


\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}\bfseries}Sl|*{11}{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 2 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 & 13 & 14 & 15 & 18\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 2 & 5 & 3 & 6 & 5 & 6 & 1 &  1 & 1\\
\hline
E.c.c. & 1 & 2 & 4 & 9 & 12 & 18 & 23 & 29 & 30 & 31 & 32\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

{\scshape\bfseries Notes de la Seconde 2}

\medskip
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}\bfseries}Sl|*{16}{Sc|}}
\hline
Notes ($x_i$) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 1 & 1 & 1 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 5 & 4 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
E.c.c. & 1 & 2 & 3 & 6 & 8 & 11 & 15 & 18 & 23 & 27 & 30 & 31 & 31 & 33 & 34 & 35\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

On voit alors que ma médiane de la Seconde 1 est 9 (car c'est la première note pour laquelle les e.c.c. sont supérieurs ou égaux à la moitié de l'effectif total, soit $32\div2=16$).

\medskip

\underline{Donc $m_1=9$}.

\bigskip

De plus, $Q_1=7$ et $Q_3=13$ donc l'écart interquartile est \underline{$e_1=13-7=6$}.

\medskip

On voit aussi que la médiane de la Seconde 2 est \underline{$m_2=8$}.

De plus, $Q_1=6$ et $Q_3=10$, donc l'écart inter-quartile est $e_2=10-6=4$.

\item Le couples $\coord{m_1}{e_1}=\coord{9}{6}$ et $\coord{m_2}{e_2}=\coord{8}{4}$ nous permettent de dire que la dispersion des notes autour des médianes est plus étroite dans la Seconde 2 que dans la Seconde 1, en ayant à peu près la m\^eme médiane (à 1 point près).

\medskip

Les couples $\coord{\overline{x}_1}{\sigma_1}=\coord{9,75}{3,29}$ et $\coord{\overline{x}_2}{\sigma_2}=\coord{8,17}{3,5}$ nous permet de dire que la concentration des notes autour des moyennes est quasiment identique, en ayant une moyenne plus forte dans la Seconde 1 que dans la Seconde 2.

\medskip

On peut donc voir que la Seconde 1 est légèrement plus performante que la Seconde~2.
\end{enumerate}
\vspace*{1cm}~
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{salaires dans deux entreprises}[1]
Nous avons observé les salaires nets dans deux entreprises concurrentes, et nous les avons réunis dans les tableaux suivants :

\medskip

{\scshape\bfseries Entreprise A}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes & 
\intervFO{\numprint{1150}}{\numprint{1250}} & \intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1350}} & \intervFO{\numprint{1350}}{\numprint{1450}} & \intervFO{\numprint{1450}}{\numprint{1550}} \\ 
\hline
Effectifs & 
18 & %1
27 & %2
52 & %3
48 \\\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes & 
\intervFO{\numprint{1550}}{\numprint{1650}} & \intervFO{\numprint{1650}}{\numprint{1750}} & \intervFO{\numprint{1750}}{\numprint{1850}} & \intervFF{\numprint{1850}}{\numprint{2000}}\\
\hline
Effectifs & 
36 & %5
25 & %6
20 & %7
8 \\\hline
\end{tabular}

\bigskip

{\scshape\bfseries Entreprise B}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes & 
\intervFO{~~900}{\numprint{1000}} & \intervFO{\numprint{1000}}{\numprint{1100}} & \intervFO{\numprint{1100}}{\numprint{1200}} & \intervFO{\numprint{1200}}{\numprint{1300}}\\
\hline
Effectifs & 
10 & %1
15 & %2
22 & %3
34 \\%4
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes & 
\intervFO{\numprint{1300}}{\numprint{1400}} &
\intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1500}} &
\intervFO{\numprint{1500}}{\numprint{1600}} & \intervFO{\numprint{1600}}{\numprint{1700}} \\
\hline
Effectifs & 
38 & %5
42 & %6
58 & %7
30 \\ %8
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes & 
\intervFO{\numprint{1700}}{\numprint{1800}} &
\intervFO{\numprint{1800}}{\numprint{1900}} &
\intervFO{\numprint{1900}}{\numprint{2000}} & \intervFF{\numprint{2000}}{\numprint{2100}}\\
\hline
Effectifs & 
22 & % 9
14 & %10
10 & %11
4\\ %12
\hline
\end{tabular}

\medskip

Déterminer le couple \coord{\overline{x}}{\sigma} pour chacune des deux entreprises.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Pour l'entreprise A :
\begin{align*}
\overline{x}_A & = \dfrac{\numprint{1200}\times18+\numprint{1300}\times27+\cdots+\numprint{1925}\times8}{18+27+52+\cdots+20+8}\\
& = \dfrac{\numprint{353000}}{234}\\
\Aboxed{\overline{x}_A & \approx\numprint{1509}}
\end{align*}

\begin{align*}
\text{V}_A & = \dfrac{18(\numprint{1509}-\numprint{1200})^2+27(\numprint{1509}-\numprint{1300})^2+\cdots+8(\numprint{1509}-\numprint{1925})^2}{234}\\
\Aboxed{\text{V}_A & \approx \numprint{33367}}
\end{align*}

\begin{align*}
\sigma_A & = \sqrt{\text{V}_A}\\
\Aboxed{\sigma_A & \approx 183}
\end{align*}

\item Pour l'entreprise B :
\begin{align*}
\overline{x}_B & = \dfrac{950\times10+\numprint{1050}\times15+\cdots+\numprint{2050}\times4}{10+15+\cdots+10+4}\\
& = \dfrac{\numprint{436750}}{299}\\
\Aboxed{\overline{x}_B & \approx \numprint{1461}}
\end{align*}

\begin{align*}
\text{V}_B & = \dfrac{10(950-\numprint{1461})^2+15(\numprint{1050}-\numprint{1461})^2+\cdots+4(\numprint{2050}-\numprint{1461})^2}{299}\\
\Aboxed{\text{V}_B & \approx \numprint{61959}}
\end{align*}

\begin{align*}
\sigma_B & =\sqrt{\text{V}_B}\\
\Aboxed{\sigma_B & \approx 249}
\end{align*}
\end{itemize}

Ainsi, des couples $\coord{\overline{x}_A}{\sigma_A}=\coord{\numprint{1509}}{183}$ et $\coord{\overline{x}_B}{\sigma_B}=\coord{\numprint{1461}}{249}$, on peut déduire qu'en moyenne, on gagne plus dans l'entreprise A que dans la B, mais que l'écart à ce salaire moyen est plus important dans l'entreprise B quand dans la A.
\vspace*{10mm}~
\end{exocor}

%%%
\newpage
\begin{exocor}{influence d'un ajout dans une série statistique}[2]
On considère une série statistique  de $n$ données $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$.

On note $\overline{x}$ sa moyenne.

\medskip

On ajoute une donnée $x$ à cette série, et on note $m(x)$ la nouvelle moyenne.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $m(x)=\dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}$.

\item Quelle valeur de $x$ faut-il prendre pour que $m(x)=\overline{x}$ ?
\end{enumerate}

\tcblower

Posons $x_{n+1}=x$.

\begin{enumerate}
\item Par définition, on a :
\[
\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\qquad\text{donc}\qquad n\overline{x}=x_1+x_2+\cdots+x_n\;.
\]
On a alors :
\begin{align*}
m(x) & = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x}{n+1}\\
\Aboxed{m(x) & = \dfrac{n\overline{x}+x}{n+1}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
& m(x)=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{x+n\overline{x}}{n+1}=\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x+n\overline{x}=(n+1)\overline{x}\\
\Longleftrightarrow & x=\overline{x}.
\end{aligned}$

\uline{Il faut ainsi choisir d'ajouter à la série une valeur égale à la moyenne de la série pour que la moyenne de la nouvelle série soit la même que la série initiale.}
\end{enumerate}
\end{exocor}



%%%

\begin{exocor}{de l'algèbre dans les statistiques}[2]
\begin{enumerate}
\item Hugo a obtenu au 2\ieme{} trimestre une moyenne de 8/20 aux 3 premiers contrôles (dont les coefficients respectifs sont 0,5, 2 et 1). Il ne reste qu'un contrôle avant l'arrêt des notes (dont le coefficient sera égal à 2).

Combien faut-il qu'il obtienne au minimum pour obtenir 10/20 de moyenne au 2\ieme{} trimestre ?

\item M. Zébulon enseigne les mathématiques aux classes Seconde 1 (30 élèves) et Seconde 2 (26 élèves). Il propose systématiquement les mêmes sujets de devoirs. Sur celui portant sur les statistiques, la Seconde 1 a obtenu une moyenne de 14,5/20.
\begin{enumerate}
\item Quelle doit être la moyenne de la Seconde 2 pour que la moyenne de ce contrôle (sur les deux classes) soit supérieure à 12/20 ?
\item Lors des précédents devoirs, la moyenne de la Seconde 2 était inférieure à celle de la Seconde 1 de \pourcent{20}.

Peut-il espérer atteindre 12/20 de moyenne à ce contrôle sur les deux classes ?
\end{enumerate}

\item Mme Zébulon enseigne aussi les mathématiques dans le même lycée que son mari. Elle a la Seconde 3 dans laquelle se trouve Kévin Zépadbol à qui elle propose, avec un sourire narquois, l'énigme suivante : 

\og Tu as eu 5/20 (coefficient 2) et 8/20 (coefficient 1) aux deux premiers devoirs, et tu attends ta note pour le dernier devoir coefficient 2. Sur ces trois devoirs, l'écart-type de tes notes est à peu près égal à 1,643. Si tu arrives à trouver la note que tu as obtenue au dernier contrôle, je la triple. \fg{} 

Saurez-vous trouver la note de Kévin ? (il faudra dans cette question faire preuve d'initiative).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Notons $x$ la note au devoir coefficient 2. Il faut :
\[
\dfrac{(0,5+2+1)\times8+2x}{0,5+2+1+2}\geqslant10
\]
soit :
\[
28+2x\geqslant10\times5,5.
\]
On a alors :
\[
x\geqslant\dfrac{55-28}{2}
\]
ou encore :
\[
x\geqslant13,5.
\]

\uline{Il faut donc que Hugo obtienne une note supérieure ou égale à 13,5/20 lors du prochain contrôle.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Notons $\overline{x_1}=14,5$ la moyenne de la Seconde 1 et $\overline{x_2}$ celle de la Seconde 2. Il faut :
\begin{align*}
\dfrac{30\times14,5+26\times\overline{x_2}}{30+26}\geqslant12 & \iff 435+26\overline{x_2}\geqslant12\times56\\
& \iff \overline{x_2}\geqslant\dfrac{12\times56-435}{26}\\
& \iff \overline{x_2}\geqslant9,12.
\end{align*}
\uline{Il faut donc que la moyenne de la Seconde 2 soit supérieure ou égale à 9,12.}

\item Lors des précédents devoirs, $\overline{x_2}=0,8\overline{x_1}$. Ici, $0,8\overline{x_1}=0,8\times14,5=11,6$.

\uline{M. Zébulon peut donc se rassurer : il est fort probable que la moyenne de ses deux classes soit supérieure à 12/20.}
\end{enumerate}

\item La variance des notes de Kévin est : $1,643^2\approx2,7$.

Notons $n$ sa note au dernier devoir, $\overline{x}$ sa moyenne sur ses trois contrôles et V la variance. Alors :
\[
\begin{cases}
\overline{x}=\dfrac{5\times2+8\times1+2n}{5}\\[10pt]
\text{V}=\dfrac{2\big(5-\overline{x}\big)^2+\big(8- \overline{x}\big)^2+2\big(n-\overline{x}\big)^2}{5}
\end{cases}
\]
On obtient :
\[
\begin{cases}
\overline{x}=\dfrac{18}{5}+\dfrac{2}{5}n\\[10pt]
\text{V}=\dfrac{1}{5}\big[ 5\overline{x}^2-(36+4n)\overline{x}+114+2n^2 \big]
\end{cases}
\]
En remplaçant dans la deuxième égalité $\overline{x}$ par son expression en fonction de $n$, on a :
\begin{align*}
\text{V} & = \dfrac{1}{25}(18+2n)^2-\dfrac{1}{25}\underbrace{(36+4n)}_{=2(18+2n)}(18+2n)+\dfrac{1}{5}(114+2n^2)\\[6pt]
& = -\dfrac{1}{25}(18+2n)^2+\dfrac{1}{25}(570+10n^2)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{25}(10n^2+570-18^2-72n-4n^2)\\[6pt]
& = \dfrac{2}{25}(3n^2-36n+123).
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\text{V}=2,7 & \iff \dfrac{2}{25}(3n^2-36n+123)=\dfrac{27}{10}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123=\dfrac{27}{10}\times\dfrac{25}{2}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123=\dfrac{135}{4}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123-\dfrac{135}{4}=0\\[6pt]\\
& \iff 12n^2-144n+357=0.
\end{align*}
La fonction $n\mapsto92n^2-144n-233$ est une fonction du second degré. En la traçant à la calculatrice, on trouve qu'elle coupe l'axe des abscisses en $n=3,5$ et $n=8,5$.

Mais le fait que l'enseignante puisse tripler la note suggère que cette note ne peut pas être 8,5 (sans quoi la note triplée serait supérieure à 20).

\uline{Kévin a donc eu 3,5/20}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{moyenne de deux groupes}[2]
Un club sportif est composé de deux groupes: le groupe A, composé de 135 personnes, et le groupe B, composé de 98.

Lors d'une compétition, les deux groupes participent à une course. Le temps moyen du groupe A est de 10 minutes et 27 secondes. Celui du groupe B est de 9 minutes et 2 secondes.

\medskip

Quel est le temps moyen du club ?

\tcblower

Il faut ici utiliser la formule:
\[
\dfrac{n_A \times \overline{x_A} + n_B \times \overline{x_B} }{n_A + n_B}
\]
où $n_A$ et $n_B$ représentent respectivement l'effectif du groupe A et celui du groupe B, et où $\overline{x_A}$ et $\overline{x_B}$ leurs moyennes (en secondes, par exemple).

Ainsi, $\overline{x_A}=10\times60+27=627$ secondes et $\overline{x_B}=9\times60+2 = 542$ secondes.

Alors, le temps moyen du club est:
\[
\frac{135\times627 + 98\times542}{135+98}\approx591,25\text{ secondes};
\]
soit un temps moyen de 9 min 51 sec
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{}[2]
Dans une village, on a relevé le nombre d'enfants par habitation, et on a mis les résultats dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{6}{>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}}
\hline
Nombres d'enfants $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 125 & 142 & 97 & 24 & 2 \\
\hline
Effectifs cumulés & &&&&&\\
\hline
$(x_i-\overline{x})^2$&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la troisième ligne du tableau (celle des effectifs cumulés).

En déduire la valeur de la médiane $M_e$ et des quartiles $Q_1$ et $Q_3$.

\item Calculer le nombre moyen d'enfants (noté $\overline{x}$) par habitation dans ce village.

\item Compléter alors la dernière ligne du tableau.

Calculer ensuite la variance $V$, puis l'écart-type $\sigma$.

\item Calculer le pourcentage d'habitations ayant un nombre d'enfants compris dans l'intervalle $\intervFF{\overline{x}-\sigma}{\overline{x}+\sigma}$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{6}{>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}}
\hline
Nombres d'enfants $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 125 & 142 & 97 & 24 & 2 \\
\hline
Effectifs cumulés &230 & 355 & 497 & 594 & 618 & 620 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

La médiane $M_e$ est la valeur du caractère pour laquelle 50\% de l'effectif total est dépassé. La moitié de 620 est égale à 310.

Or, 310 est dépassé pour un nombre d'enfants de 1.

Donc \underline{$M_e=1$}. 
Le quart de 620 est la moitié de 310, soit 155, atteint pour un nombre d'enfants de 0. 
Donc \underline{$Q_1=0$}.

Les trois quarts de 620 sont égaux à $3\times155=465$, atteint pour un nombre d'enfants de 2. Donc \underline{$Q_3=2$}.

\item Le nombre moyen d'enfants est obtenu par le calcul suivant:
\[
\overline{x}=\dfrac{0\times230 + 1\times125 + 2\times142 + 3\times97 + 4\times24 + 5\times2}{620}=1,3.
\]
\underline{Le nombre moyen d'enfants par habitation dans ce village est donc 1,3.}

\newpage

\item Le tableau complété est le suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*{6}{>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}}
\hline
Nombres d'enfants $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 125 & 142 & 97 & 24 & 2 \\
\hline
Effectifs cumulés &230 & 355 & 497 & 594 & 618 & 620 \\
\hline
$(x_i-\overline{x})^2$ & 1,69 & 0,09 & 0,49 & 2,89 & 7,29 & 13,69 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La variance est donc la moyenne des $(x_i-\overline{x})^2$, soit :
\[
V = \dfrac{230\times1,69 + 125\times0,09 + 142\times0,49 + 97\times2,89 + 24\times7,29 + 2\times13,69}{620}
\]
soit:
\[
\boxed{V \approx 1,54}
\]
Ainsi, l'écart-type est :
\[
\boxed{\sigma=\sqrt{V}\approx 1,2}
\]

\item L'intervalle $\intervFF{\overline{x}-\sigma}{\overline{x}+\sigma}$ est $\intervFF{1,3-1,2}{1,2+1,2}=\intervFF{0,1}{2,4}$. On cherche donc le pourcentage d'habitations ayant 1 ou 2 enfants. 

Il y a $125+142=267$ habitations concernées, soit un pourcentage de $\dfrac{267}{620}\times100\approx43\%$.

\underline{Il y a donc environ 43\% d'habitations ayant 1 ou 2 enfants dans ce village.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Dans une entreprise, on a relevé les salaires des employés, que l'on a répertoriés dans le tableau ci-dessous en les regroupant par classes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*5{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & 
\intervFO{0}{\numprint{950}} & 
\intervFO{950}{\numprint{1250}} & 
\intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1400}} & \intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}} & \intervFF{\numprint{1700}}{\numprint{2400}}\\
\hline
Centre des classes $x_i$ & & & & & \\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 320 & 550 & 480 & 420 \\
\hline
Effectifs cumulés & & & & & \\
\hline
$(x_i-\overline{x})^2$ &  & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans quel intervalle se trouve la médiane et les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ ?
\item Calculer le salaire moyen $\overline{x}$ de cette entreprise.
\item Calculer la variance et l'écart-type des salaires.
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Complétons la ligne des effectifs cumulés :

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & 
\intervFO{0}{\numprint{950}} & 
\intervFO{950}{\numprint{1250}} & 
\intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1400}} & 
\intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}} & 
\intervFF{\numprint{1700}}{\numprint{2400}}\\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 320 & 550 & 480 & 420 \\
\hline
Effectifs cumulés & 230 & 550 & \numprint{1100} & \numprint{1580} & \numprint{2000} \\
\hline
\end{tabular}

\medskip

On voit alors que la moitié de l'effectif total est atteint pour la classe \intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1400}}; la médiane appartient donc à cet intervalle.

\newpage

Le quart de l'effectif total (500) est atteint pour la classe \intervFO{950}{\numprint{1250}} donc \underline{$Q_1\in \intervFO{950}{\numprint{1250}}$}.

Les trois quarts (\numprint{1500}) sont atteints pour \intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}}  donc \underline{$Q_3\in \intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}} $}.

\item Calculons le salaire moyen en complétant d'abord la ligne des centres des classes :

\medskip

\scalebox{0.9}{\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & 
\intervFO{0}{\numprint{950}} & 
\intervFO{950}{\numprint{1250}} & 
\intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1400}} & 
\intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}} & 
\intervFF{\numprint{1700}}{\numprint{2400}}\\
\hline
Centre des classes $x_i$ & 475 & \numprint{1100} & \numprint{1325} & \numprint{1550} & \numprint{2050} \\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 320 & 550 & 480 & 420 \\
\hline
\end{tabular}}

\medskip

Par exemple, pour trouver le centre de la classe \intervFO{950}{\numprint{1250}}, on fait : 
\[
\dfrac{1250+950}{2}=1100.
\]

Calculons alors la moyenne:
\[
\overline{x} = \dfrac{475\times230 + \numprint{1100}\times320 + \numprint{1325}\times550 + \numprint{1550}\times480 + \numprint{2050}\times420}{\numprint{2000}}
\]
On obtient alors:
\[
\boxed{\overline{x}=\numprint{1397,50}}
\]

\item Pour calculer la variance, complétons la ligne des $(x_i-\overline{x})^2$ :

\medskip

\scalebox{0.9}{\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & 
\intervFO{0}{\numprint{950}} & 
\intervFO{950}{\numprint{1250}} & 
\intervFO{\numprint{1250}}{\numprint{1400}} & 
\intervFO{\numprint{1400}}{\numprint{1700}} & 
\intervFF{\numprint{1700}}{\numprint{2400}}\\
\hline
Centre des classes $x_i$ & 475 & \numprint{1100} & \numprint{1325} & \numprint{1550} & \numprint{2050} \\
\hline
Effectifs $n_i$ & 230 & 320 & 550 & 480 & 420 \\
\hline
$(x_i-\overline{x})^2$ & \numprint{851006,25} & \numprint{88506,25} & \numprint{5256,25} & \numprint{23256,25} & \numprint{425756,25} \\
\hline
\end{tabular}}

\medskip


Ainsi,
\[
V = \dfrac{230 \times \numprint{851006,25} + 320 \times \numprint{88506,25} + \cdots + 420\times\numprint{425756,25}}{\numprint{2000}}.
\]
On obtient alors:
\[
\boxed{V\approx \numprint{208462,5}}
\]
soit un écart-type de:
\[
\boxed{\sigma \approx 456,58}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{propriété de la moyenne}[2]
\begin{enumerate}
\item Les élèves de deux classes $A$ et $B$, d'effectifs respectifs 35 et 27 élèves, ont fait le même devoir. La moyenne de la classe $A$ est $10,7$ et celle de la classe $B$ est $12,3$.

Quelle est la moyenne de ce devoir sur les deux classes $A$ et $B$ ?

\item Deux classes $C$ et $D$ ont fait le même devoir. La moyenne de la classe $C$ (dans laquelle il y avait 30 élèves) est 8,9 et celle de la classe $D$ est $15,7$.

Sachant que la moyenne des deux classes est environ égale à 12, combien d'élèves de la classe $D$ ont fait ce devoir ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons la moyenne du devoir sur les deux classes :
\[
\dfrac{10,7\times35 + 12,3\times27}{35+27}\approx11,4.
\]
\underline{Ainsi, la moyenne de ce devoir sur les deux classes est d'environ 11,4.}

\bigskip

\item Notons $x$ le nombre d'élèves de la classe $D$ qui ont fait le devoir. Alors,
\begin{align*}
\dfrac{8,9\times30 + 15,7x}{(30+x)}=12 & \iff \dfrac{267 + 15,7x}{(30+x)}=12\\[8pt]
& \iff 267+15,7x = 12(30+x)\\[8pt]
& \iff 267+15,7x = 360 + 12x\\[8pt]
& \iff 15,7x-12x = 360 - 267\\[8pt]
& \iff 3,7x = 93\\[8pt]
& \iff x = \dfrac{93}{3,7}\\[8pt]
& \iff x \approx 25.
\end{align*}

\underline{Ainsi, 25 élèves ont fait le devoir dans la classe $D$}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{vers une équation}[2]
Un groupe de touristes est séparé en deux pour faire des achats.

Le premier groupe, constitué de 25 personnes, a dépensé en moyenne, 50 € par personne.

Le second a dépensé en moyenne 80 € par personne.

La dépense moyenne du groupe par personne est 67,50 €.

\medskip

Combien de personnes constituent le second groupe ?

\tcblower

On sait que la moyenne du groupe de touristes est donnée par la formule:
\[
\bar{x} = \dfrac{n_1\overline{x_1} + n_2\overline{x_2}}{n_1+n_2}\qquad\text{avec:}
\]
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $n_1$ est l'effectif du premier groupe,
\item $\overline{x_1}$ est la moyenne du premier groupe,
\item $n_2$ est l'effectif du second groupe,
\item $\overline{x_2}$ est la moyenne du second groupe.
\end{itemize}
\end{multicols}
Cela donne alors:
\begin{align*}
67,50 & = \dfrac{25\times50 + n_2 \times 80}{25+n_2}\\[8pt]
\iff 67,50 & = \dfrac{\numprint{1250} + 80n_2}{25+n_2}\\[8pt]
\iff 67,50(25+n_2) & = \numprint{1250} + 80n_2\\[8pt]
\iff 67,5\times25 + 67,5n_2 & = \numprint{1250} + 80n_2\\[8pt]
\iff \numprint{1687,5} + 67,5n_2 & =  \numprint{1250} + 80n_2\\[8pt]
\iff 67,5n_2 - 80n_2 & =  \numprint{1250} - \numprint{1687,5}\\[8pt]
\iff -12,5n_2 & = -437,5\\[8pt]
\iff n_2 & = \dfrac{-437,5}{12,5}\\[8pt]
\iff n_2 & = 35.
\end{align*}

\underline{Il y a donc 35 personnes dans le second groupe de touristes.}
\end{exocor}


\corriges
