\chapter{Probabilités}

\newpage

\section{Vocabulaire}

\subsection{Expérience aléatoire}

\begin{defin}
Une \textbf{expérience aléatoire} est une expérience dont les issues sont obtenues par hasard.

\medskip
L'ensemble de toutes les issues que l'on peut obtenir est appelé l'\textbf{univers}. On le note : $\Omega$ (Oméga).
\end{defin}

\begin{exemple}
On considère l'expérience qui consiste à lancer un dé tétraédrique (4 faces numérotées 1, 2, 3 et 4). On s'intéresse à la face obtenue (au numéro qu'elle porte). Pour un dé tétraédrique, c'est la face cachée.

Si le dé n'est pas pipé (truqué), c'est une expérience aléatoire car on ne sait pas à l'avance quelle face sera obtenue.

L'univers est ici : $\Omega = \{1~;~2~;~3~;~4\}$.
\end{exemple}


\subsection{\'Evénement}

\begin{defin}
On appelle \textbf{événement} d'une expérience aléatoire une des issues possibles.
\end{defin}

\begin{exemple}
Dans le lancer de dé tétraédrique, \og obtenir un 1 \fg{}  est un événement. 

De même, \og obtenir un 2 \fg{} est un événement. Idem pour les autres faces.

L'univers est donc ici composé de 4 événements.
\end{exemple}


\subsection{Réunion d'événements}

\begin{defin}
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$.

On appelle \textbf{réunion} de $A$ et $B$ l'événement \og $A$ ou $B$ est réalisé. \fg

On note cette réunion : $A \cup B$.
\end{defin}

\begin{exemple}
On lance un dé cubique et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'événement : \og obtenir un nombre pair \fg{} 
\item $B$ l'événement : \og obtenir un multiple de 3 \fg{} 
\end{itemize}
L'événement $A\cup B$ est alors : \og obtenir un nombre pair ou un multiple de 3 \fg.
\end{exemple}

\begin{rem}
Dans ce dernier exemple, on peut aussi \textit{décrire} la réunion:
\begin{itemize}
\item $A = \{2~;~4~;~6\}$;
\item $B = \{3~;~6\}$;
\item $A\cup B = \{2~;~3~;~4~;6\}$.
\end{itemize}
En effet, $A\cup B$ est constitué des nombres compris entre 1 et 6 qui sont pairs ou multiples de 3 (ou les deux).
\end{rem}

\subsection{Intersection d'événements}

\begin{defin}
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$.

On appelle \textbf{intersection} de $A$ et $B$ l'événement \og $A$ et $B$ sont réalisés en même temps. \fg

On note cette réunion : $A \cap B$.
\end{defin}

\begin{exemple}
On lance un dé cubique et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'événement : \og obtenir un nombre pair \fg{} 
\item $B$ l'événement : \og obtenir un multiple de 3 \fg{} 
\end{itemize}
L'événement $A\cap B$ est alors : \og obtenir un nombre pair et un multiple de 3 \fg, c'est-à-dire : \og obtenir 6 \fg.
\end{exemple}

\begin{rem}
Dans ce dernier exemple, on peut aussi \textit{décrire} l'intersection:
\begin{itemize}
\item $A = \{2~;~4~;~6\}$;
\item $B = \{3~;~6\}$;
\item $A\cap B = \{6\}$.
\end{itemize}
En effet, $A\cap B$ est constitué des nombres compris entre 1 et 6 qui sont à la fois pairs et multiples de 3; il n'y a donc que le nombre 6.
\end{rem}

\subsection{\'Evénement complémentaire}

\begin{defin}
Soit $A$ un événement d'un univers $\Omega$.

Le \textbf{complémentaire de A} est l'événement : \og $A$ n'est pas réalisé \fg. On le note $\overline{A}$ (on le lit souvent : \textit{A barre}).
\end{defin}

\begin{exemple}
Soit $\Omega = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$.
\begin{itemize}
\item Si $A=\{2~;~4~;~6\}$ alors $\overline{A}=\{1~;~3~;~5\}$;
\item Si $B=\{3~;~6\}$ alors $\overline{B}=\{1~;~2~;~4~;~5\}$.
\end{itemize}
\end{exemple}


\section{Diagrammes de Venn}

Une expérience aléatoire ainsi que des événements de cette expérience peuvent être modélisés par un dessin; c'est un diagramme de Venn.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\Aset{(4,1) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\def\Bset{(6,3) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\filldraw[thick,draw=red,fill=red!10,rounded corners] (0,0) rectangle +(10,4);
\filldraw[thick,draw=cyan,fill=cyan!10,rotate=20,opacity=0.8] \Aset;
\node[cyan] at (1.5,1.5) {$A$};
\filldraw[thick,draw=magenta,fill=magenta!10,rotate=-10,opacity=0.8] \Bset;
\node[magenta] at (7.5,1.5) {$B$};
\node[red,above right] at (0,0) {$\Omega$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Union}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\Aset{(4,1) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\def\Bset{(6,3) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\filldraw[thick,draw=red,fill=red!10,rounded corners] (0,0) rectangle +(10,4);
\filldraw[thick,draw=cyan,fill=cyan!10,rotate=20,opacity=0.8] \Aset;
\filldraw[thick,draw=magenta,fill=magenta!10,rotate=-10,opacity=0.8] \Bset;
\fill[rotate=20,yellow!40,opacity=0.8] \Aset;
\fill[rotate=-10,yellow!40,opacity=0.8] \Bset;
\node[cyan] at (1.5,1.5) {$A$};
\node[magenta] at (7.5,1.5) {$B$};
\node[red,above right] at (0,0) {$\Omega$};
\node[fill=yellow!40] (reunion) at (7,-1){$A\cup B$};
\drawshadow{reunion}{black}
\draw[thick,->,>=latex] (reunion.west) to[bend left=30] (5,0.7);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\subsection{Intersection}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\Aset{(4,1) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\def\Bset{(6,3) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\filldraw[thick,draw=red,fill=red!10,rounded corners] (0,0) rectangle +(10,4);
\filldraw[thick,draw=cyan,fill=cyan!10,rotate=20,opacity=0.8] \Aset;
\filldraw[thick,draw=magenta,fill=magenta!10,rotate=-10,opacity=0.8] \Bset;
\node[cyan] at (1.5,1.5) {$A$};
\node[magenta] at (7.5,1.5) {$B$};
\node[red,above right] at (0,0) {$\Omega$};
\node[fill=green!40] (reunion) at (7,-1){$A\cap B$};
\drawshadow{reunion}{black}
\draw[thick,->,>=latex] (reunion.west) to[bend left=30] (4.5,2);
\clip[rotate=20] \Aset;
\fill[rotate=-10,green!40,opacity=0.8] \Bset;
\draw[thick,->,>=latex] (reunion.west) to[bend left=30] (4.5,2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Complémentaire}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\Aset{(4,1) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\filldraw[thick,draw=red,fill=red!10,rounded corners,pattern={north east lines},pattern color=blue] (0,0) rectangle +(10,4);
\filldraw[thick,draw=cyan,fill=cyan!10,rotate=20] \Aset;
\node[cyan] at (1.5,1.5) {$A$};
\node[red,above right] at (0,0) {$\Omega$};
\node[fill=blue,text=white,] (reunion) at (7,-1){$\overline{A}$};
\drawshadow{reunion}{black}
\draw[thick,->,>=latex] (reunion.west) to[bend left=30] (7,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Partition de l'univers}

\begin{defin}
On dit que des événements $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment une \textbf{partition de l'univers} $\Omega$ si:
\[
\begin{cases}
A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega\\
A_i \cap A_j = \varnothing\text{ pour }i\neq j.
\end{cases}
\]
\end{defin}

On peut représenter une partition par exemple de la façon suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\Aset{(0,0) circle[x radius=2.5,y radius=1.3]}
\filldraw[thick,draw=red,fill=red!10,rounded corners] (-5,-2) rectangle +(10,4);
\clip[rounded corners] (-5,-2) rectangle +(10,4);
\foreach \a/\i in {0/2,60/3,120/4,180/5,240/7,300/7}
{
\draw[thick,cyan] (0,0) -- (\a:7);
\node[cyan] at ({3.5*cos(\a+30)},{1.7*sin(\a+30)}) {$A_\i$};
}
\filldraw[thick,draw=cyan,fill=cyan!10] \Aset;
\node[cyan] at (0,0) {$A_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\section{Probabilités}

\subsection{Loi de probabilité}

\begin{defin}
Une \textbf{loi de probabilité} est un modèle que l'on adopte en fonction de l'expérience aléatoire menée.

\medskip

Si toutes les issues ont la même probabilité d'être obtenues, la loi de probabilité usuelle que l'on choisit est l'\textbf{équiprobabilité}.

\newpage

Si l'on peut calculer les probabilités de chaque issue dans un cas autre que l'équiprobabilité, la loi de probabilité peut-être donnée sous forme de tableau contenant les probabilités de toutes les issues.
\end{defin}


\begin{exemple}[loi de probabilité]
\begin{enumerate}
\item Si l'expérience consiste à lancer un dé cubique et à regarder la face obtenue, il y a équiprobabilité car toutes les faces ont une probabilité égale à $\dfrac{1}{6}$ d'être obtenue.

\item\label{exemple:6-q:2} Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une carte. On considère les événements:
\begin{itemize}
\item $F$ : \og on choisit une figure \fg{} ;
\item $A$ : \og on choisit un as \fg{} 
\item $D$ : \og on choisit un 7, 8, 9 ou 10 \fg.
\end{itemize}
La loi de probabilité de cette expérience est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sc|*3{Sc|}}
\hline
\'Evénements & $F$ & $A$ & $D$\\
\hline
Probabilités & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
En effet, il y a 3 figures par famille -- qui compte 8 cartes (donc $\proba{F}=\dfrac{3}{8}$); de plus, il y a 1 As par famille (donc $\proba{A}=\dfrac{1}{8}$) et il y a 4 cartes sur 8 qui sont des 7, 8, 9 ou 10 (donc $\proba{D}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$).
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Propriétés fondamentales}

\begin{prop}
Soit $\Omega$ un univers et soient $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ des événements de  formant  une partition de $\Omega$.

Alors, $\proba{A_1}+\proba{A_2}+\cdots+\proba{A_n}=1$.
\end{prop}


\begin{exemple}
Si on reprend la question \ref{exemple:6-q:2} de l'exemple \ref{exemple:loi de probabilité}, les événements $F$, $A$ et $D$ forment une partition de l'univers, et la somme des probabilités trouvées est bien égale à 1 :
\[
\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}=1.
\]
\end{exemple}

\newpage

\begin{prop}
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. Alors,
\[
\proba{A\cup B} = \proba{A}+\proba{B} - \proba{A\cap B}.
\]
\end{prop}

\textit{Cela vient du fait que $A\cup B$ se trouve en prenant $A$ et $B$, mais en prenant $B$, on a pris aussi une partie de $A$ (qui est $A\cap B$) qu'il faut enlever sinon on l'aura prise deux fois.}

\section{Méthodes de dénombrement}


Il existe deux méthodes principales pour dénombrer : le tableau à double entrée et l'arbre.

\subsection{Le tableau à double entrée}

Il est souvent utilisé quand on s'intéresse à deux caractères dans un même univers.

\begin{exemple}[tableau à double entrée]
Dans un lycée, il y a \pourcent{50} d'élèves de Seconde, \pourcent{30} d'élèves de Première et \pourcent{20} d'élèves de Terminale.

Parmi les élèves de Seconde, il y en a \pourcent{48} qui sont des filles.

Parmi les élèves de Première, il y en a \pourcent{51} qui sont des filles.

Parmi les élèves de Terminale, il y en a \pourcent{55} qui sont des filles.

La répartition peut alors se représentée par le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}\bfseries}c|*4{Sc|}}
\rowcolor{exemple}\hline
\diagbox{Genres}{Classes} & \bfseries \textcolor{white}{Seconde} &  \bfseries \textcolor{white}{Première} & \bfseries \textcolor{white}{Terminale} & \bfseries \textcolor{white}{Total}\\
 \hline
Filles & \pourcent{24} & \pourcent{15,3} & \pourcent{11} & \pourcent{50,3} \\
\hline
Garçons & \pourcent{26} & \pourcent{14,7} & \pourcent{9} & \pourcent{49,7}\\
\hline
Total & \pourcent{50} & \pourcent{30} & \pourcent{20} & \pourcent{100}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item On commence par mettre \pourcent{50}, \pourcent{30} et \pourcent{20} sur la dernière ligne car cela représente le total (en pourcentage) de chaque classe.
\item Ensuite, on calcule \pourcent{48} de \pourcent{50} : $\dfrac{48}{100}\times\dfrac{50}{100}=\dfrac{24}{100}$, ce qui correspond au pourcentage de filles de Seconde \underline{par rapport à l'ensemble du lycée}.

On fait de même pour les autres pourcentages des filles.

\item On finit ensuite en complétant la ligne des garçons de sorte que le total des pourcentages de chaque colonne soit égal à celui indiqué en dernière ligne.
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item On peut ainsi dire, par exemple, que si on choisit au hasard un élève de ce lycée,
\begin{enumerate}
\item la probabilité que ce soit un garçon de Terminale est égale à \pourcent{9};
\item la probabilité que ce soit une fille est égale à \pourcent{50,3}.
\end{enumerate}

\item Si maintenant on choisit un élève parmi les garçons, la probabilité qu'il soit en\linebreak Première est égale à $\dfrac{14,7}{49,7}$, soit $\dfrac{147}{497}=\dfrac{21}{71}$. Attention ici, l'univers n'est plus l'ensemble du lycée mais l'ensemble des garçons.
\end{enumerate}
\end{exemple}


\subsection{L'arbre des possibilités (ou arbre des probabilités)}

C'est sans nul doute la représentation la plus répandue en probabilités.

Reprenons l'exemple \ref{exemple:tableau à double entrée}, et notons :
\begin{itemize}
\item $S$ l'événement : \og l'élève choisi.e. est en Seconde \fg;
\item $P$ l'événement : \og l'élève choisi.e. est en Première \fg;
\item $T$ l'événement : \og l'élève choisi.e. est en Terminale \fg;
\item $F$ l'événement : \og l'élève choisie est une fille \fg;
\item $G$ l'événement : \og l'élève choisi est un garçon \fg;
\end{itemize}
L'énoncé nous parle en premier de la répartition des élèves en fonction de leur classe, donc le premier niveau de l'arbre doit concerner les classes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\node (S) at (3,2) {$S$};
\node (P) at (3,0) {$P$};
\node (T) at (3,-2) {$T$};
\draw (omega) -- (S.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{50}};
\draw (omega) -- (P.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{30}};
\draw (omega) -- (T.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{20}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On complète ensuite le second niveau de l'arbre par les possibilités : pour chaque élève de Seconde, Première et Terminale, nous avons la possibilité que l'élève soit une fille ou un garçon:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\node (S) at (3,2) {$S$};
\node (P) at (3,0) {$P$};
\node (T) at (3,-2) {$T$};
\draw (omega) -- (S.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{50}};
\draw (omega) -- (P.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{30}};
\draw (omega) -- (T.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{20}};
%
\node (SF) at (6,2.5) {$F$};
\node (SG) at (6,1.5) {$G$};
\node (PF) at (6,.5) {$F$};
\node (PG) at (6,-.5) {$G$};
\node (TF) at (6,-1.5) {$F$};
\node (TG) at (6,-2.5) {$G$};
\draw (S.east) -- (SF.west) node[midway,fill=orange!10,draw=orange,ellipse,inner sep=2pt] (ex) {\pourcent{48}};
\draw (S.east) -- (SG.west) node[midway,fill=green!10,draw=green!50!black,ellipse,inner sep=2pt] (exx) {\pourcent{52}};
\draw (P.east) -- (PF.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{51}};
\draw (P.east) -- (PG.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{49}};
\draw (T.east) -- (TF.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{55}};
\draw (T.east) -- (TG.west) node[midway,fill=main] {\pourcent{45}};
\draw[->,>=latex,thick,orange] (ex.north) to[bend left=20] ($(ex.north)+(2,1)$) node[right,text width=5cm] {pourcentage de filles en classe de Seconde};
\draw[->,>=latex,thick,green!50!black] (exx.south) to[bend right=20] ($(exx.south)+(2,0)$) node[right,text width=5cm] {on en déduit le pourcentage restant:$100-48=52$.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'événement $T\cap G$ est : \og l'élève choisi est un garçon de Terminale \fg.

Pour calculer $\proba{P\cap G}$, on multiplie les probabilités des deux branches :
\[
\dfrac{20}{100}\times\dfrac{45}{100}=\dfrac{9}{100}.
\]
On retrouve bien la probabilité trouvée dans l'exemple \ref{exemple:tableau à double entrée}.

\medskip

En revanche, la probabilité que l'élève soit en Première sachant que c'est un garçon (calculée à la question 2 de l'exemple \ref{exemple:tableau à double entrée}) ne peut pas se lire directement sur l'arbre.

Toutefois, vous verrez en première une méthode pour la trouver à l'aide de l'arbre.


\exercices

%%%

\begin{exocor}{lancer de deux dés équilibrés}[1]
On lance un dé cubique et un dé tétraédrique  (4 faces), tout deux non pipés (c'est-à-dire parfaitement équilibrés).
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que la somme des faces obtenues soit un multiple de 3 ?

\item Avec les deux chiffres obtenus, on forme un nombre dont le chiffre des unités est celui obtenu avec le dé cubique et celui des dizaines, obtenu avec le dé tétraédrique.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que ce nombre soit un multiple de 3 ?
\item Quelle est la probabilité pour que ce nombre soit un multiple de 2 ?
\end{enumerate}

\item Reprendre les questions $a$ et $b$ de la question précédente en considérant maintenant que le chiffre des unités est donné par le dé tétraédrique et celui des dizaines par le dé cubique.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Représentons les sommes possibles dans un tableau :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}c|*6{c|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
\color{numpagecorrige}\diagbox{\textcolor{black}{Dé 2}}{\textcolor{black}{Dé 1}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
1 & 2 &\cellcolor{red!10} 3 & 4 & 5 &\cellcolor{red!10} 6 & 7\\
\hline
2 &\cellcolor{red!10} 3 & 4 & 5 & \cellcolor{red!10}6 & 7 & 8\\
\hline
3 & 4 & 5 &\cellcolor{red!10} 6 & 7 & 8 &\cellcolor{red!10} 9\\
\hline
4 & 5 &\cellcolor{red!10} 6 & 7 & 8 &\cellcolor{red!10} 9 & 10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Nous voyons ici qu'il y a $6\times4=24$ issues possibles.
De plus, il y a 8 issues correspondant à une somme qui est multiple de 3. Donc la probabilité d'obtenir une somme multiple de 3 est :
\[
p_1=\dfrac{8}{24}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_1=\dfrac{1}{3}}
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Le nombre formé est un multiple de 3 si la somme des chiffres est un multiple de 3. D'après la question précédente, on obtient une probabilité de:
\[
p_2=p_1\qquad\boxed{p_2=\dfrac{1}{3}}
\]

\item Un nombre est un multiple de 2 s'il est pair. Il y a ici $3\times4=12$ nombres pairs, soit la moitié des issues possibles. La probabilité pour que le nombre formé soit un multiple de 2 est alors :
\[
\boxed{p_3=\dfrac{1}{2}}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item L'ordre des chiffres importe peu, donc:
\[
\boxed{p_4=p_2=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}}
\]

\item Il y a toujours un nombre pair sur 2 pour le chiffre des unités. Donc:
\[
\boxed{p_5=\dfrac{1}{2}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{jeu de cartes: réunion et intersection}[1]
Un jeu de cartes est constitué de 52 cartes. 

Il est composé de 4 \og couleurs \fg{} : c\oe ur (rouge), carreau (rouge), pique (noire) et trèfle (noire).

Pour chaque couleur, il y a 3 figures : valet, dame et roi.

On tire au hasard une carte de ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une figure rouge ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une figure ou une carte rouge ?

\item Quelle est la probabilité d'obtenir une figure rouge ou une carte noire qui ne soit pas une figure ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Il y a 6 figures rouges (en tout, $4\times3=12$ figures dont la moitié sont rouges). La probabilité est alors :
\[
p_1=\dfrac{6}{52}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_1=\dfrac{3}{26}}
\]
\newpage
\item En notant F l'événement \og obtenir une figure \fg{} et R l'événement \og obtenir une carte rouge \fg, on peut écrire :
\[
P(F\cup R)=P(F)+P(R)-P(F\cap R).
\]
D'après la question précédente, $P(F\cap R)=\dfrac{3}{26}$.

De plus, $P(F)=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}$ et $P(R)=\dfrac{1}{2}$ (car il y a autant de cartes rouges que de cartes noires).

Ainsi,
\begin{align*}
P(F\cup R) & =\dfrac{3}{13}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{26}\\
& = \dfrac{6}{26}+\dfrac{13}{26}-\dfrac{3}{26}\\
\Aboxed{P(F\cup R) & = \dfrac{8}{13}}
\end{align*}

\begin{rem}
On aurait aussi pu raisonner en passant par l'événement contraire, à savoir $\overline{F\cup R}$ : \og obtenir une carte qui n'est pas une figure et qui est noire \fg.  On en compte en tout $10\times2=20$ (10 cartes ne sont pas des figures et il n'y a que 2 couleurs noires). Donc la probabilité de l'événement contraire est égale à $\dfrac{20}{52}=\dfrac{5}{13}$.

La probabilité demandée au départ est donc égale à $1-\dfrac{5}{13}=\dfrac{13}{13}-\dfrac{5}{13}=\dfrac{8}{13}$.
\end{rem}

\item Pour cette question, il vaut mieux compter les cartes de chaque ensemble car ces deux derniers sont disjoints (ils n'ont pas d'élément en commun).

Il y a 6 figures rouges et 20 cartes noires qui ne sont pas des figures, donc il y a en tout 26 cartes (soit la moitié du jeu).

La probabilité est donc égale à $\dfrac{1}{2}$. 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec un dé portant des lettres}[1]
Un dé cubique porte sur chaque face une lettre. 

Ce dé est pipé ; le tableau suivant donne les probabilités de chaque face :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*6{Sc|}}
\hline
A & M & H & T & U & Y\\
\hline
$\dfrac{1}{15}$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{2}{15}$ & $\dfrac{1}{15}$ & $\dfrac{4}{15}$ & ?\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On lance une fois ce dé. On note :

\begin{itemize}
\item Y l'événement : \og on obtient la face où figure la lettre Y \fg{} ;
\item X l'événement : \og on obtient une lettre du mot MATH \fg{} 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Calculer P(Y).
\item Calculer P(X).
\item Calculer P(Y$\cap$X).
\item Calculer P(Y$\cup$X).
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
P(Y) & =1-\left(\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{4}{15}\right)\\
& = 1-\dfrac{13}{15}\\
\Aboxed{P(Y) & = \dfrac{2}{15}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
P(X) & = \dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}\\
& = \dfrac{9}{15}\\
\Aboxed{P(X) & = \dfrac{3}{5}}
\end{aligned}$

\item Il n'est pas possible d'avoir une lettre du mot MATH \textbf{et} le Y donc $\boxed{P(Y\cap X)=0}$.

\item $\begin{aligned}[t]
P(Y\cup X) & =P(Y)+P(X)-P(Y\cap X)\\
& =\dfrac{2}{15}+\dfrac{3}{5}-0\\
\Aboxed{P(Y\cup M)&=\dfrac{11}{15}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{changement d'univers}[1]
Dans un lycée, nous avons réparti les élèves selon leur genre et le moyen de locomotion qu'ils utilisent pour venir en cours. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce!30}}Sc|Sc|Sc|}
\rowcolor{numpageenonce!30}\hline
 Moyens de locomotion &  Filles &  Garçons\\
\hline
En transport en commun & 126 & 148\\
\hline
\`A vélo & 16 & 10\\
\hline
\`A pieds & 108 & 84\\
\hline
En voiture & 42 & 30\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève parmi les 564 élèves de ce lycée.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon ?
\item Quelle est la probabilité pour que cet élève vienne à vélo ?
\item Quelle est la probabilité pour que ce soit une fille qui vienne à pieds ?
\end{enumerate}

\item On choisit maintenant un garçon au hasard.

Quelle est la probabilité pour qu'il vienne en voiture ?

\item On choisit maintenant un élève qui vient en transport en commun.

Quelle est la probabilité pour que ce soit une fille ?
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item L'univers est ici composé de tous les élèves du lycée, donc il comporte 564 éléments.
\begin{enumerate}
\item Il y a, dans le collège, $148+10+84+30=272$ garçons. 

Par conséquent, la probabilité de choisir un garçon parmi tous les élèves est :
\[
p_1=\dfrac{272}{564}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_1=\dfrac{68}{141}}.
\]

\item Il y a $10+16=26$ élèves qui viennent à vélo.

Par conséquent, la probabilité de choisir un élève qui vient à vélo parmi les élèves du collège est :
\[
p_2=\dfrac{26}{564}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_2=\dfrac{13}{282}}
\] 

\item Il y a 108 filles qui viennent à pieds donc la probabilité de choisir une fille qui vient à pieds parmi les élèves du collège est :
\[
p_3=\dfrac{108}{564}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_3=\dfrac{9}{47}}
\]
\end{enumerate}

\item L'univers est ici composé des garçons du collège ; il est donc composé de 272 éléments.

Il y a 30 garçons qui viennent en voiture donc la probabilité de choisir un élève qui vient en voiture parmi les garçons est :
\[
p_4=\dfrac{30}{272}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_4=\dfrac{15}{136}}
\]

\item L'univers est ici composé des élèves qui viennent en transport en commun ; il y a donc $126+148=274$ éléments dans l'univers.

Il y a 126 filles dans cet univers donc la probabilité de choisir une fille parmi les élèves qui viennent en transport en commun est :
\[
p_5=\dfrac{126}{274}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{p_5=\dfrac{63}{137}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{chez les profs de math}[1]
Chaque année, le club des profs de math d'une ville convie chacun de ses membres à une réunion secrète. Cette année, il envoie 420 invitations.

Parmi ces profs de math, il y a ceux qui adorent la géométrie, ceux qui adorent l'algèbre et ceux qui adorent les statistiques. Mais certains peuvent adorer deux des trois disciplines, voire même les trois. La répartition est donnée par le diagramme de {\scshape Venn} suivant :

\medskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{tikzpicture}
\draw[brown,fill=brown!50,opacity=0.5] (2,0) circle[x radius=2cm,y radius=1.5cm];
\draw[green,fill=green!50,opacity=0.5] (4,0) circle[x radius=2cm,y radius=1.5cm];
\draw[purple,fill=purple!50,opacity=0.5] (3,-1.5) circle[x radius=1.5cm,y radius=1cm];
%
\draw[brown] (2,0) circle[x radius=2cm,y radius=1.5cm];
\draw[green!50!black] (4,0) circle[x radius=2cm,y radius=1.5cm];
\draw[purple] (3,-1.5) circle[x radius=1.5cm,y radius=1cm];
%
\node[text=brown] at (1,1) {A};
\node[text=brown] at (0.5,0) {120};
\node[text=brown!50!green] at (3,0.5) {20};
\node[text=green!50!black] at (5,1) {G};
\node[text=green!50!black] at (5.5,0) {105};
\node[text=purple] at (3,-2) {S};
\node[text=purple] at (4,-1.75) {90};
\node[text=brown!50!purple] at (2,-1.2) {10};
\node[text=green!50!purple] at (4,-1) {5};
\node[text=brown!33!green!33!purple] at (3,-0.8) {70};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
On choisit un prof au hasard dans cette réunion. On note :

\begin{itemize}
\item A est l'événement : \og le prof adore l'algèbre \fg{} ;
\item G est l'événement : \og le prof adore la géométrie \fg{} ;
\item S est l'événement : \og le prof adore les statistiques \fg.
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que le prof adore la géométrie et les statistiques.
\item Calculer la probabilité pour que le prof adore la géométrie ou les statistiques.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item D'après le diagramme, il y a $70+5=75$ profs qui adorent les statistiques et la géométrie. Donc :
\[
P(G\cap S)=\dfrac{75}{420}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{P(G\cap S)=\dfrac{5}{28}}
\]

\item Il y a 120 profs qui ne sont pas dans l'ensemble $S\cup G$ donc :
\[
P(S\cup G)=1-\dfrac{120}{420}\qquad\text{soit}\qquad\boxed{P(S\cup G)=\dfrac{5}{7}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{anglais \& espagnol dans une classe}[1]
Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l'anglais et 15 l'espagnol. 8 étudient les deux langues.

Pour un élève donné, on note $A$ l'événement : \og l'élève étudie l'anglais \fg et $E$ l'événement : \og l'élève étudie l'espagnol \fg.
\begin{enumerate}
\item Que représente l'événement $A \cap E$ ?
\item Que représente l'événement $A \cup E$ ?
\item Combien d'élèves n'apprennent ni l'anglais ni l'espagnol ?
\item Quel est l'événement contraire de $A$ ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $A \cap E$ est l'événement : \og l'élève étudie l'anglais et l'espagnol \fg.
\item $A \cup E$ est l'événement : \og l'élève étudie l'anglais ou l'espagnol \fg.
\begin{attention}
Quand on décrit  \og l'élève étudie l'anglais ou l'espagnol \fg, cela sous-entend qu'il étudie l'une des deux langues ou les deux.

On dit que le \og ou \fg{} est \textit{inclusif}. Il ne faut pas le confondra avec le \og ou \fg{} \textit{exclusif}, qui signifie que l'élève étudie l'une des deux langues mais pas les deux en même temps. 
\end{attention}

\item Sur les 30 élèves, 20 étudient l'anglais et 15 l'espagnol, sachant que 8 étudient les deux langues.

Le nombre d'élèves qui n'étudient pas l'une des ces langues est alors:
\[
30 - (20+15-8) = 30 - 27 = 3.
\]

\item L'événement contraire de $A$ est:
\begin{center}
$\evcont{A}$ =  \og l'élève n'étudie pas l'anglais. \fg{} 
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{QCM}[2]
Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. 

\begin{enumerate}
\item On a lancé 5 fois de suite un dé cubique équilibré, et on n'a jamais obtenu le SIX. La probabilité d'obtenir SIX au 6\ieme{} lancer est :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item inférieure à $\dfrac{1}{6}$
\item supérieure à $\dfrac{1}{6}$
\item égale à $\dfrac{1}{6}$
\item inconnue
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Une famille possède deux enfants. Quelle est la probabilité que ce soient deux filles ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{1}{8}$
\item $\dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{1}{4}$
\item 1
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On effectue 2 tirages aléatoires successifs et sans remise dans un jeu de 52 cartes ordinaire.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux cartes identiques ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 1
\item $\dfrac{1}{16}$
\item 0
\item $\dfrac{1}{32}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item  On lance deux dés cubiques non truqués. Quelle est la probabilité d'obtenir un \og double \fg, c'est-à-dire que les faces des deux dés indiquent le même chiffre ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{1}{6}$
\item $\dfrac{1}{36}$
\item 6
\item $\dfrac{2}{36}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Réponse (c) : $\dfrac{1}{6}$.

En effet, le dé est équilibré donc chaque face a la m\^eme probabilité d'\^etre obtenue, à savoir 1 chance sur 6, quelles que soient les issues obtenues précédemment du lancer.

\item Réponse (c) : $\dfrac{1}{4}$. En effet, il y a 1 chance sur 2 pour que le 1\ier{} enfant soit une fille et autant pour le 2\ieme{} enfant, donc la probabilité que les deux enfants soient deux filles est $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.

\item Réponse (c) : 0. Le tirage se fait sans remise, ce qui signifie que la carte obtenue lors du premier tirage n'est pas remise dans le jeu et donc ne peut pas \^etre obtenue lors du second tirage.

\item Réponse (a) : $\dfrac{1}{6}$. Si on lance deux dés cubiques, il y a $6\times6=36$ issues possibles :

11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32, ...

Parmi ces 36 issues, 6 donnent deux chiffres identiques (11,22,33,44,55,66), donc la probabilité d'obtenir 2 chiffres identiques est $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le digicode}[2]
Le digicode d'un immeuble possède un clavier pour saisir un code. Le code est composé de deux chiffres, parmi 1, 2 ou 3, suivis d'une lettre parmi A ou B. Par exemple : 21B est un code possible, tout comme 33A.

Un seul code permet d'accéder au hall de l'immeuble.

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un arbre des possibilités, déterminer le nombre de codes possibles.
\item Calculer la probabilité des événements A, B, C, D et E suivants :
\begin{itemize}
\item A: \og Le code ouvrant l'immeuble est le code 33A \fg{} ;
\item B: \og Le code ouvrant l'immeuble commence par le chiffre 2 \fg{} ;
\item C: \og Le code ouvrant l'immeuble se termine par la lettre A \fg{} ;
\item D: \og Le code ouvrant l'immeuble contient deux fois le même chiffre \fg{} ;
\item E: \og Le code ouvrant l'immeuble ne contient ni le 1, ni le B \fg{}.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre suivant :

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[rotate=-90]
\node (U) at (0,2.5) {1};
\node (D) at (0,0) {2};
\node (T) at (0,-2.5) {3};
%
\node (UU) at ($(U)+(2,0.85)$) {1};
\node (UD) at ($(U)+(2,0)$) {2};
\node (UT) at ($(U)+(2,-0.85)$) {3};
\node (DU) at ($(D)+(2,0.85)$) {1};
\node (DD) at ($(D)+(2,0)$) {2};
\node (DT) at ($(D)+(2,-0.85)$) {3};
\node (TU) at ($(T)+(2,0.85)$) {1};
\node (TD) at ($(T)+(2,0)$) {2};
\node (TT) at ($(T)+(2,-0.85)$) {3};
%
\node (UUA) at ($(UU)+(2,0.25)$) {A};
\node (UUB) at ($(UU)+(2,-0.25)$) {B};
\node (UDA) at ($(UD)+(2,0.25)$) {A};
\node (UDB) at ($(UD)+(2,-0.25)$) {B};
\node (UTA) at ($(UT)+(2,0.25)$) {A};
\node (UTB) at ($(UT)+(2,-0.25)$) {B};
\node (DUA) at ($(DU)+(2,0.25)$) {A};
\node (DUB) at ($(DU)+(2,-0.25)$) {B};
\node (DDA) at ($(DD)+(2,0.25)$) {A};
\node (DDB) at ($(DD)+(2,-0.25)$) {B};
\node (DTA) at ($(DT)+(2,0.25)$) {A};
\node (DTB) at ($(DT)+(2,-0.25)$) {B};
\node (TUA) at ($(TU)+(2,0.25)$) {A};
\node (TUB) at ($(TU)+(2,-0.25)$) {B};
\node (TDA) at ($(TD)+(2,0.25)$) {A};
\node (TDB) at ($(TD)+(2,-0.25)$) {B};
\node (TTA) at ($(TT)+(2,0.25)$) {A};
\node (TTB) at ($(TT)+(2,-0.25)$) {B};
%
\draw (-2,0) -- (U.north);
\draw (-2,0) -- (D.north);
\draw (-2,0) -- (T.north);
\draw (U.south) -- (UU.north);
\draw (U.south) -- (UD.north);
\draw (U.south) -- (UT.north);
\draw (D.south) -- (DU.north);
\draw (D.south) -- (DD.north);
\draw (D.south) -- (DT.north);
\draw (T.south) -- (TU.north);
\draw (T.south) -- (TD.north);
\draw (T.south) -- (TT.north);
\draw (UU.south) -- (UUA.north);
\draw (UU.south) -- (UUB.north);
\draw (UD.south) -- (UDA.north);
\draw (UD.south) -- (UDB.north);
\draw (UT.south) -- (UTA.north);
\draw (UT.south) -- (UTB.north);
\draw (DU.south) -- (DUA.north);
\draw (DU.south) -- (DUB.north);
\draw (DD.south) -- (DDA.north);
\draw (DD.south) -- (DDB.north);
\draw (DT.south) -- (DTA.north);
\draw (DT.south) -- (DTB.north);
\draw (TU.south) -- (TUA.north);
\draw (TU.south) -- (TUB.north);
\draw (TD.south) -- (TDA.north);
\draw (TD.south) -- (TDB.north);
\draw (TT.south) -- (TTA.north);
\draw (TT.south) -- (TTB.north);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\uline{Il y a donc 18 codes possibles.}
\end{minipage}



\item 
\begin{itemize}
\item $\proba{A}=\dfrac{1}{18}$ : il n'y a qu'un code \og 33A \fg{}  sur les 18 codes possibles.
\item $\proba{B}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$ car il y a 6 codes commençant par 2.
\item $\proba{C}=\dfrac{1}{2}$ : il y a 1 code sur 2 qui finit par A.
\item $\proba{D}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$ : seuls les codes 11A, 11B, 22A, 22B, 33A et 33B conviennent.
\item $\proba{E}=\dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}$ : seuls les codes 22A, 23A, 32A et 33A ne contiennent ni le 1, ni le B.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{les fantômes du village}[2]
Dans un village, \pourcent{13} des habitant·e·s affirment avoir vu au moins un fantôme dans leur vie. Parmi les personnes qui ont vu un fantôme, \pourcent{93} aiment bien faire un tour au bistrot en fin de journée, contre seulement \pourcent{15} des autres habitant·e·s (celles et ceux qui n'en ont jamais vu).

On choisit au hasard une personne habitant ce village. Quelle est la probabilité qu'elle aime aller au bistrot en fin de journée ?

\tcblower

Commençons par noter:
\begin{itemize}
\item $F$ l'événement : \og la personne a vu au moins un fantôme dans sa vie \fg;
\item $B$ l'événement : \og la personne aime bien aller au bistrot en fin de journée \fg.
\end{itemize}
%On a alors l'arbre suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7]
\node (omega) {$\Omega$ (le village)};
\node (F) at (3,2) {$F$};
\node (FB) at (3,-2) {$\overline{F}$};
\node (FBistrot) at (6,2.75) {$B$};
\node (FBistrotB) at (6,1.25) {$\overline{B}$};
\node (FBBistrot) at (6,-1.25) {$B$};
\node (FBBistrotB) at (6,-2.75) {$\overline{B}$};
\draw (omega.east) -- (F.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{13}};
\draw (omega.east) -- (FB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{87}};
\draw (F.east) -- (FBistrot.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{93}};
\draw (F.east) -- (FBistrotB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{7}};
\draw (FB.east) -- (FBBistrot.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{15}};
\draw (FB.east) -- (FBBistrotB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {\pourcent{85}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
La probabilité que la personne choisie au hasard aime aller au bistrot en fin de journée est égale à la probabilité qu'elle ait vu un fantôme et qu'elle aime aller au bistrot, ou qu'elle n'ait pas vu de fantôme et qu'elle aime aller au bistrot. 

Autrement dit: $\begin{aligned}[t]
\proba{B} & = \proba{F\cap B}+\proba{\overline{F}\cap B}\\
& = 0,13\times0,93 + 0,87\times0,15\\
& = 0,1209+0,1305\\
\Aboxed{\proba{B} & = 0,2514}
\end{aligned}$
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dans un magasin}[2]
Un petit magasin possède 2 caisses, toujours ouvertes (mais bien sûr pas toujours libres, parfois les caisses sont occupées et il faut attendre). On note :
\begin{itemize}
\item C$_1$ l'événement : \og La caisse n°1 est libre \fg
\item C$_2$ l'événement : \og La caisse n°2 est libre \fg
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Énoncez à l'aide d'une phrase l'événement $\rm C_1\cap C_2$.
\end{enumerate}

Une étude statistique permet d'affirmer que $\proba{C_1}=0,3$, $\proba{C_2}=0,4$ et $\proba{C_1\cap C_2}=0,2$.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Énoncez à l'aide d'une phrase l'événement $\overline{\text{C}_1}$ puis calculer sa probabilité.
\item Énoncez à l'aide d'une phrase l'événement $\text{C}_1\cup\text{C}_2$ puis calculer sa probabilité.
\item Calculer la probabilité qu'il faille attendre, c'est-à-dire qu'aucune des deux caisses ne soient libres.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\text{C}_1\cap\text{C}_2$ est l'événement : \og les caisses 1 et 2 sont libres en même temps \fg. 
\item $\overline{\text{C}_1}$ est l'événement : \og la caisse 1 n'est pas libre \fg.
\[
\text{P}(\overline{\text{C}_1})  =1-\text{P}(\text{C}_1)
= 1 - 0,3  =\underline{0,7}.
\]

\item $\text{C}_1\cup\text{C}_2$ est l'événement : \og la caisse 1 ou la caisse 2 est libre \fg.
\[
\proba{C_1\cup C_2} = \proba{C_1}+\proba{C_2}-\proba{C_1\cap C_2}
= 0,3+0,4-0,2 = \underline{0,5}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\proba{\evcont{C_1}\cap\evcont{C_2}} & = \proba{\evcont{C_1\cup C_2}}
= 1-\proba{C_1\cup C_2}
 = 1-0,5 = \underline{0,5}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{dans un sac}[2]
Un sac contient 4 jetons, indiscernables au toucher, portant les chiffres 1, 3, 6 et 9.

On tire au hasard un premier jeton, puis un second jeton sans remettre le premier dans le sac. On note le nombre à deux chiffres obtenu dont les dizaines sont données par le premier jeton extrait et les unités par le second.

\medskip

Par exemple, le tirage \og 6 \fg{} puis \og 1 \fg{} conduit au nombre \og 61 \fg.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre des possibilités représentant cette expérience aléatoire.
\item Déterminer le nombre d'issues possibles liées à cette expérience.
\end{enumerate}
\item On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item A : \og le nombre obtenu est pair \fg
\item B : \og le nombre obtenu est un multiple de 3 \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des événements A, B et $\evcont{B}$.
\item Traduire par une phrase l'événement $\text{A}\cup\text{B}$ puis calculer sa probabilité.
\item Traduire par une phrase l'événement $\text{A}\cap\text{B}$ puis calculer sa probabilité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'arbre des possibilités est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (U) at (0,0) {1};
\node (T) at (0,-2) {3};
\node (S) at (0,-4) {6};
\node (N) at (0,-6) {9};
%
\node (UT) at (2,0.75) {3};
\node (US) at (2,0) {6};
\node (UN) at (2,-0.75) {9};
\node (TU) at (2,-1.25) {1};
\node (TS) at (2,-2) {6};
\node (TN) at (2,-2.75) {9};
\node (SU) at (2,-3.25) {1};
\node (ST) at (2,-4) {3};
\node (SN) at (2,-4.75) {9};
\node (NU) at (2,-5.25) {1};
\node (NT) at (2,-6) {3};
\node (NS) at (2,-6.75) {6};
%
\draw (-2,-3) -- (U.west);
\draw (-2,-3) -- (T.west);
\draw (-2,-3) -- (S.west);
\draw (-2,-3) -- (N.west);
\draw (U.east) -- (UT.west);
\draw (U.east) -- (US.west);
\draw (U.east) -- (UN.west);
\draw (T.east) -- (TU.west);
\draw (T.east) -- (TS.west);
\draw (T.east) -- (TN.west);
\draw (S.east) -- (SU.west);
\draw (S.east) -- (ST.west);
\draw (S.east) -- (SN.west);
\draw (N.east) -- (NU.west);
\draw (N.east) -- (NT.west);
\draw (N.east) -- (NS.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Nous voyons sur l'arbre des possibilités qu'il y a 12 issues possibles.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Il y a 3 issues qui représentent des nombres pairs (16, 36 et 96) donc\linebreak $\proba{A}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.

\item Un nombre est un multiple de 3 lorsque la somme de ses chiffres est elle-m\^eme un multiple de 3. Il y a donc 6 nombres divisibles par 3 (36, 39, 63, 69, 93 et 96), donc $\proba{B}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

\item $\proba{\evcont{B}}=1-\proba{B}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\item $\text{A}\cup\text{B}$ est l'événement : \og le nombre obtenu est pair ou multiple de 3 \fg{} ; il contient donc 7 issues concernées (16, 36, 39, 63, 69, 93 et 96), donc $\proba{A\cup B}=\dfrac{7}{12}$.

\item $\text{A}\cap\text{B}$ est l'événement : \og le nombre obtenu est pair et divisible par 3 \fg{} ; il y a donc 2 issues concernées (36 et 96), donc $\proba{A\cap B}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.

\medskip

\textit{N.B.} On aurait aussi pu utiliser la formule :
\begin{align*}
\proba{A\cap B} & = \proba{A}+\proba{B}-\proba{A\cup B}\\
& = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{12}\\
& = \dfrac{3}{12}+\dfrac{6}{12}-\dfrac{7}{12}\\
& = \dfrac{2}{12}\\
& = \dfrac{1}{6}.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{compléter un programme}[2]
On souhaite simuler \numprint{1000} lancers d'un dé cubique équilibré et compter le nombre de fois que l'on obtient la face \og 1 \fg. 

Pour cela, on utilise le programme Python suivant, que vous devez compléter:

\begin{python}
from random import randint

count = 0

for i in range(...):
    d = randint(1,6)
    if d == ...:
        count = count + 1
        
print( count )
\end{python}

\tcblower

Le programme complété est le suivant :


\begin{python}
from random import randint

count = 0

for i in range(1000):
    d = randint(1,6)
    if d == 1:
        count = count + 1
        
print( count )
\end{python}

\bigskip

Explications:

\medskip

\begin{description}
\item[Ligne 5:] c'est une boucle \textit{itérative}, qui signifie \og Pour chaque valeur de \texttt{i} dans la liste \texttt{[0,1,2,...,999]} \fg. Elle signifie donc que l'on va exécuter \numprint{1000} fois les instructions qui se trouvent dans cette boucle.

\item[Ligne 6:] \texttt{d} prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6 (inclus).

\item[Ligne 7:] on teste ici si \texttt{d} est égale à 1, auquel cas on exécute l'instruction suivante.

\item[Ligne 8:] la valeur contenue dans la variable \texttt{count} est désormais égale à elle-même augmentée de 1. Donc cette variable compte le nombre de fois où \texttt{d} prend la valeur 1.
\end{description}

\bigskip

Ainsi, la boucle représente les \numprint{1000} lancers du dé, et l'instruction \og \texttt{d = randint(1,6)} \fg{} simule un lancer du dé.
À la fin du programme, la valeur contenue dans \texttt{count} est affichée, représentant le nombre de fois où l'on a obtenu \og 1 \fg. 
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[2]
On lance un dé cubique, dont les faces portent les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6, et un dé tétraédrique, dont les faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. Ces dés sont tous les deux équilibrés. 

On souhaite simuler \numprint{1000} lancers de ces dés en Python en s'intéressant à la fréquence de toutes les sommes possibles. Par exemple, si le dé cubique donne \og 3 \fg{} et le tétraédrique \og 2 \fg, la somme est $3+2$, soit 5.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la plus petite somme possible ? La plus grande ?
\end{enumerate}  

On construit alors en Python la liste :
\begin{center}
\texttt{S = [ (2,0), (3,0), ..., (10,0) ]}
\end{center}

à l'aide de l'instruction:

\begin{python*}
S = [ (i,0) for i in range(2,11) ]
\end{python*}

L'idée est de compter le nombre de fois que l'on obtient une somme et de mettre ce nombre à la place du \og 0 \fg. Ainsi, sur les \numprint{1000} lancers, si on obtient 18 fois la somme \og 5 \fg, la liste \texttt{S} contiendra le couple \texttt{5,18}.

\newpage

\begin{enumerate}[start=2]
\item Expliquer alors le programme suivant:
\begin{python}
from random import randint

S = [ (i,0) for i in range(2,11) ]

for i in range(1000):
    d1 = randint(1,6)
    d2 = randint(1,4)
    somme = d1 + d2
    
    for k in range( len(S) ):
        if S[k][0] == somme:
            n = S[k][1]
            S[k] = (somme, n+1)
            
print( S )
\end{python}

\item On exécute 5 fois ce programme et on obtient les cinq résultats suivants:

\hrulefill

\bgroup
\fontsize{9}{10}\selectfont\ttfamily
[(2, 42), (3, 82), (4, 131), (5, 145), (6, 177), (7, 173), (8, 129), (9, 88), (10, 33)]

[(2, 44), (3, 104), (4, 114), (5, 167), (6, 178), (7, 157), (8, 122), (9, 73), (10, 41)]

[(2, 44), (3, 86), (4, 121), (5, 149), (6, 182), (7, 152), (8, 148), (9, 77), (10, 41)]

[(2, 39), (3, 81), (4, 123), (5, 172), (6, 150), (7, 179), (8, 126), (9, 86), (10, 44)]

[(2, 43), (3, 85), (4, 125), (5, 177), (6, 164), (7, 166), (8, 120), (9, 68), (10, 52)]

\egroup
\hrulefill

Quelles sont les sommes les plus fréquemment obtenues ?

\item Calculer la probabilité de chacune des sommes.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La plus petite somme possible est 2 car le plus petit nombre du dé cubique est 1, et celui du dé tétraédrique est 1.

La plus grande somme possible est 10 car le plus grand nombre du dé cubique est 6, et celui du dé tétraédrique est 4.

\item La boucle itérative \textit{for} exécute \numprint{1000} fois les instructions qui sont placées à l'intérieur de cette boucle: on simule \numprint{1000} lancers.

Les lignes 6 et 7 simulent respectivement un lancer du dé cubique et tétraédrique. 

La ligne 8 calcule la somme des nombres obtenus. 

De la ligne 10 à la ligne 13, on parcourt chaque couple de la liste \texttt{S} : quand le premier nombre du couple correspond à la somme obtenue, on ajoute 1 au deuxième nombre du couple et on remplace le couple existant par le nouveau. Par exemple, si la somme obtenue est 4 et que le couple est (4,8), il sera remplacé par (4,9). Le deuxième nombre compte le nombre de fois où l'on obtient le premier nombre.

\item À la vue des simulations données, on peut observer que les sommes \og 5 \fg,  \og 6 \fg{} et \og 7 \fg{}  sont les plus fréquentes.

\item Pour déterminer la probabilité de chacune des sommes, on peut dresser une table d'addition:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*6{Sc|}}
\hline
\diagbox{Dé tétra.}{Dé cubique}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Il y a donc 24 issues. Si on note $S$ la somme obtenu, on a alors:
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $P(S=2)=\dfrac{1}{24}$
\item $P(S=3)=\dfrac{2}{24}$
\item $P(S=4)=\dfrac{3}{24}$
\item $P(S=5)=\dfrac{4}{24}$
\item $P(S=6)=\dfrac{4}{24}$
\item $P(S=7)=\dfrac{4}{24}$
\item $P(S=8)=\dfrac{3}{24}$
\item $P(S=9)=\dfrac{2}{24}$
\item $P(S=10)=\dfrac{1}{24}$
\end{multicols}
\end{itemize}
On peut alors voir que nos simulations Python reflètent la réalité: les sommes \og 5 \fg, \og 6 \fg{} et \og 7 \fg{} sont bien les plus fréquentes.  
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\begin{exocor}{jetons carrés, ronds, verts, bleus et noirs}[2]
Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.

Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés; 10 des 12 jetons bleus sont carrés; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
\begin{enumerate}
\item Utiliser un arbre ou un tableau pour donner le nombre de jetons de chaque sorte.
\item On tire un jeton au hasard. On suppose qu'il y a équiprobabilité. Soit $A$ l'événement: \og le jeton est vert \fg, $B$ l'événement: \og le jeton est carré \fg{} et $C$ l'événement: \og le jeton est carré et n'est pas bleu \fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités respectives de $A$, de $B$ et de $C$.
\item Calculer les probabilités des événements contraires de $A$, de $B$ et de $C$.
\item Exprimer par une phrase l'événement contraire de $C$ et calculer sa probabilité de deux manières différentes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Construisons un arbre pour dénombrer les jetons selon leur couleur et leur forme:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
\node (R1) at (6,3) {$R$};
\node (C1) at (6,2) {$C$};
\node (R2) at (6,1) {$R$};
\node (C2) at (6,0) {$C$};
\node (R3) at (6,-1) {$R$};
\node (C3) at (6,-2) {$C$};
%
\node (V) at (3,2.5) {$V$};
\node (B) at (3,0.5) {$B$};
\node (N) at (3,-1.5) {$N$};
%
\draw (0,0.5) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {10};
\draw (0,0.5) -- (B.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {12};
\draw (0,0.5) -- (N.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {18};
%
\draw (V.east) -- (R1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {6};
\draw (V.east) -- (C1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {4};
\draw (B.east) -- (R2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {2};
\draw (B.east) -- (C2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {10};
\draw (N.east) -- (R3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {14};
\draw (N.east) -- (C3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {4};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item D'après l'arbre construit précédemment, on a:
\begin{itemize}
\item $P(A) = \dfrac{10}{10+12+18}=\dfrac{1}{4}$.
\item $P(B) = \dfrac{4+10+4}{30}=\dfrac{18}{40}=\dfrac{9}{20}$.
\item $P(C) = \dfrac{4+4}{40}=\dfrac{1}{5}$.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $P(\evcont{A}) = 1-P(A) = 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
\item $P(\evcont{B}) = 1-P(B) = 1-\dfrac{9}{20}=\dfrac{11}{20}$.
\item $P(\evcont{C}) = 1-P(C) = 1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$.
\end{itemize}

\item L'événement contraire de $C$ est:
\begin{center}
$\evcont{C}$ : \og le jeton n'est pas carré ou il est bleu \fg.
\end{center}
\begin{itemize}
\item On compte les jetons qui ne sont pas carrés ou qui sont bleus pour calculer:
\[
P(\evcont{C}) = \dfrac{6+2+14+10}{40}=\dfrac{32}{40}=\dfrac{\cancel{8}\times4}{\cancel{8}\times5}=\dfrac{4}{5}.
\]
\item On utilise la formule du cours:
\[
P(\evcont{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dé truqué}[2]
On joue avec un dé truqué à 6 faces. On lance une fois ce dé. On sait que:
\begin{itemize}
\item la probabilité d'obtenir 1,2,3,4 ou 5 est la même;
\item la probabilité d'obtenir un 6 est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ l'événement : \og obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 \fg. \\
Calculer $P(A)$.

\item Soit $B$ l'événement : \og obtenir 1 \fg.\\
Déterminer $P(B)$.

\item Soit $C$ l'événement : \og obtenir un nombre pair \fg.\\
 Déterminer $P(C)$.
 
 \medskip
 
En déduire la probabilité d'obtenir un nombre impair.
\end{enumerate}

\tcblower

Avant de répondre aux questions, on peut dresser le tableau suivant:

\[
\begin{array}{|l|*6{c|}}
\hline
\text{Face du dé} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\text{Probailité} & \dfrac{1\strut}{10\strut} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{2}\\
\hline
\end{array}
\]
En effet, si la probabilité d'obtenir 6 est $\dfrac{1}{2}$, la somme des autres probabilités est aussi égale à $\dfrac{1}{2}$. De plus, toutes les autres probabilités sont égales; donc elles sont égales à $\dfrac{\tfrac{1}{2}}{5}=\dfrac{1}{10}$.
\begin{enumerate}
\item $P(A) = \dfrac{1}{2}$.
\item $P(B) = \dfrac{1}{10}$.
\item Obtenir un nombre pair, c'est obtenir \og 2 ou 4 ou 6 \fg.

Donc $P(C) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{10}$.

\medskip

Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre impair est :
\[
1-\dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}.
\]
Ce dernier résultat est cohérent d'après le tableau construit en début de corrigé.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Une urne contient 100 boules numérotées de 1 à 100. On prélève une boule au hasard.

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og le numéro de la boule est pair \fg:
\item $B$ : \og le numéro de la boule est un multiple de 5 \fg ;
\item $C$ : \og le numéro de la boule est un multiple de 10 \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements $A$, $B$, $C$, $A \cap B$, $B \cap C$ et $A \cap \evcont{C}$.

\item En déduire la probabilité des événements $A \cup B$ et $A \cup C$.

Que peut-on dire de l'événement $A \cup \evcont{C}$ ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $P(A) = \dfrac{1}{2}$. En effet, il y a un nombre pair sur 2 sur l'intervalle des entiers $\llbracket 1;100 \rrbracket$.
\item $P(B) = \dfrac{1}{5}$. En effet, il y a un nombre sur 5 qui est un multiple de 5 sur l'intervalle des entiers $\llbracket 1;100 \rrbracket$.
\item $P(C) = \dfrac{1}{10}$. En effet, il y a un nombre sur 10 qui est un multiple de 10 sur l'intervalle des entiers $\llbracket 1;100 \rrbracket$.
\newpage
\item $P(A \cap B) = P(C) = \dfrac{1}{10}$. En effet, \og un nombre pair ET multiple de 5 \fg{} est un nombre multiple de 10.
\item $P(B \cap C) = P(C) = \dfrac{1}{10}$. En effet, \og un nombre multiple de 5 ET de 10 \fg{} est un nombre multiple de 10.
\item $P(A \cap \evcont{C})=\dfrac{50-10}{100}=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$. En effet, parmi les 50 nombres pairs, on enlève les 10 multiples de 10 pour obtenir les \og nombres pairs qui ne sont pas multiples de 10 \fg.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{5}$.
\item $P(A \cup \evcont{C}) = P(A) + \big[1-P(C)\big] - P(A \cap \evcont{C}) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5+9-4}{10}=1$.

On peut alors dire que l'événement $A \cup \evcont{C}$ est \textit{certain}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
