On note $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Nous souhaitons démontrer que cet ensemble est infini, c'est-à-dire qu'il existe une infinité de nombres premiers. Nous allons faire un \textit{raisonnement par l'absurde}... Laissez-vous guider par les questions.

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On suppose que $\mathbb{P}=\{p_1~;p_2~;\ldots~;p_n\}$, donc que cet ensemble n'est pas infini. Nous allons démontrer que ce n'est pas possible.

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On note $x=p_1\times p_2\times p_3 \times\cdots\times p_n+1$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que le reste de la division euclidienne de $x$ par $p_1$ est égal à 1.
\item Que dire du reste de la division euclidienne de $x$ par $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$ ?
\item Que peut-on en déduire alors sur $x$ ? Est-ce possible ? Conclure.
\end{enumerate}

