
Démontrons la contraposée de l'assertion, à savoir :
\[
xy-2 = x + y \Longrightarrow \exists (x,y)\in\N\times\N,\ x=2\text{ ou }y=2.
\]
\begin{align*}
xy-2 = x+y & \Longrightarrow xy - x - y = 2\\
& \Longrightarrow xy - x - y \textcolor{red}{+ 1} = 2 \textcolor{red}{+ 1}\\
& \Longrightarrow (x-1)(y-1) = 3\\
& \Longrightarrow \exists(x,y)\in\N^2,\ \begin{cases}x-1=1\\y-1=3
\end{cases}\quad\text{ou}\quad \begin{cases}x-1=3\\y-1=1
\end{cases}\\
& \Longrightarrow \exists(x,y)\in\N^2,\ (x=2,y=4) \text{ ou } (x=4,y=2).
\end{align*}
