
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{5}{1+\sqrt2} & = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{\big(1+\sqrt2\big)\big(1-\sqrt2\big)} = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1^2 - \big(\sqrt2\big)^2} = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1-2}\\
& = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{-1} = \boxed{-5\big(1-\sqrt2\big)}.
\end{aligned}$

\begin{rem}
L'intérêt de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression conjuguée de son dénominateur est de faire apparaître en bas (au dénominateur) une identité de la forme $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, qui supprime la racine carrée (en élevant au carré), rendant ainsi le dénominateur entier.
\end{rem}

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{8}{3-\sqrt7} & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{\big(3-\sqrt7\big)\big(3+\sqrt7\big)}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{3^2 - \big(\sqrt7\big)^2}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{9-7}\\
& = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{2}\\
\Aboxed{\dfrac{8}{3-\sqrt7} & = 4\big(3 + \sqrt7\big)}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}{\big(1+\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1^2 - \big(\sqrt3\big)^2}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1-3}\\
& = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{-2}\\
& = \dfrac{1^2 - 2\times1\times\sqrt3+\big(\sqrt3\big)^2}{-2}\\
& = \dfrac{1-2\sqrt3+3}{-2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
& = \dfrac{4-2\sqrt3}{-2}\\
& = \dfrac{-2(-2+\sqrt3)}{-2}\\
\Aboxed{\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = -2+\sqrt3}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2} & = \dfrac{\big(5+2\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}{\big(3-\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}\\
& = \dfrac{5\times3 + 5\times\sqrt2 + 2\sqrt2\times3 + 2\sqrt2\times\sqrt2}{3^2 - \big(\sqrt2\big)^2}\\
& = \dfrac{15+5\sqrt2+6\sqrt2+4)}{9-2} = \boxed{\dfrac{19+11\sqrt2}{7}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
