
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^3 & = (a+b)(a+b)^2\\
& = (a+b)(a^2+2ab+b^2)\\
& = \underbrace{(a^3+2a^2b+ab^2)}_{=a(a^2+2ab+b^2)} + \underbrace{(a^2b+2ab^2+b^3)}_{=b(a^2+2ab+b^2)}\\
\Aboxed{(a+b)^3 & = a^2 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^4 & = (a+b)(a+b)^3\\
& = (a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
& = (a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3) + (a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4)\\
\Aboxed{(a+b)^4& = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
(a+b)^5 & = (a+b)(a+b)^4\\
& = (a+b)(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)\\
& (a^5+4a^4b+6a^3b^2+4a^2b^3+ab^4) + (a^4b+4a^4b^2+6a^2b^3+4ab^4+b^5)\\
\Aboxed{(a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5}
\end{aligned}$
\end{itemize}

Si on représente les coefficients des termes du développement de $(a+b)^n$ pour $n$ allant de 0 à 5, on a ceci:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt , fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{numpagecorrige!10}}l|*6{Sc|}}
\hline
$n$ & \multicolumn{6}{|Sc|}{\cellcolor{numpagecorrige!10}Coefficients}\\
\hline
$n=0$ : $(a+b)^0 = 1$ & 1 & & & & & \\
\hline
$n=1$ : $(a+b)^1=\textcolor{red}{1}a+\textcolor{red}{1}b$ & 1 & 1 &  & & & \\
\hline
$n=2$ : $(a+b)^2=\textcolor{red}{1}a^2+\textcolor{red}{2}ab+\textcolor{red}{1}b^2$ & 1 & 2 & 1 & & & \\
\hline
$n=3$ & 1 & 3 & 3 & 1 & &\\
\hline
$n=4$ & 1 & 4 & \cellcolor{yellow!30} 6 & \cellcolor{yellow!30} 4 & 1 & \\
\hline
$n=5$ & 1 & 5 & 10 &\cellcolor{yellow!30} 10 & 5 & 1\\
\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On s'aperçoit qu'un coefficient est la somme de celui qui est juste au-dessus et de son prédécesseur (comme dans l'exemple des cases jaunes : $10=4+6$).

Les coefficients forment une sorte de triangle de nombres; c'est ce que l'on appelle le\linebreak \textit{triangle de Pascal} (Blaise Pascal était un grand mathématicien français du XVII\ieme{} siècle).

Le développement de $(1+x)^n$ pour $n$ variant de 2 à 5 est donc :
\begin{itemize}
\item $(1+x)^2=1+2x+x^2$,\smallskip
\item $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$,\smallskip
\item $(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$,\smallskip
\item $(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$.
\end{itemize}
