
\begin{enumerate}
\item \label{iueyrhei} $\begin{aligned}[t]
\big(x+y\sqrt5\big)^2 &= x^2 + 2\times x \times y\sqrt5 + \big(y\sqrt5\big)^5\\
& = x^2 + 2xy\sqrt5 + 5y^2\\
\Aboxed{\big(x+y\sqrt5\big)^2 &= x^2+5y^2 + 2xy\sqrt5}
\end{aligned}$

\item $M\coord{1}{0}$ appartient en effet à l'ensemble orange car l'ellipse orange passe par ce point:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[gray!50,dashed] (-2.5,-1.5) grid (2.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[orange] (0,0) ellipse (1cm and 0.4472135954999579cm);
\draw[purple] (0,0) ellipse (1.4142135623730951cm and 0.6324555320336759cm);
\draw [blue] (0,0) ellipse (1.7320508075688772cm and 0.7745966692414834cm);
\draw [green!50!black] (0,0) ellipse (2cm and 0.8944271909999159cm);
\draw [red] (0,0) ellipse (2.23606797749979cm and 1cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\fill[red] (1,0) circle(1pt) node[above right] {M\coord{1}{0}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si on remplace les coordonnées de ce point dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on a :
\[
(1+0\times\sqrt5)^2=1^2+5\times0^2+2\times1\times0\times\sqrt5
\]
soit :
\[
1^2=1^2.
\]

\newpage

\item Sur les ensembles \textcolor{purple}{violet}, \textcolor{blue}{bleu} et \textcolor{green!50!black}{vert}, il n'y a aucun point à coordonnées entières.

En revanche, le point N\coord{0}{1} est sur l'ensemble \textcolor{red}{rouge}. En remplaçant $x$ par 0 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:
\[
(0^2+1\sqrt5)^2=0^2+5\times1^2+2\times0\times1\sqrt5
\]
soit:
\[
\big(\sqrt5\big)^2=5.
\]
Bon, là non plus, ce n'est pas une révolution... mais on avance...

\item Le point $P\coord{2}{1}$ appartient à cet ensemble car:
\[
2^2 + 5\times1^2=9.
\]
En remplaçant $x$ par 2 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:
\begin{align*}
\big(2+1\sqrt5)^2 & =2^2+5\times1^2+2\times2\times1\sqrt5\\
& = 9+4\sqrt5.
\end{align*}
On en déduit alors:

\[
\sqrt{\big(2+1\sqrt5)^2}=\sqrt{9+4\sqrt5}
\]

soit:

\[
\boxed{\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5}
\]

\item $Q\coord{3}{1}$ appartient à l'ensemble. En remplaçant $x$ par 3 et $y$ par 1 dans l'égalité de la question \ref{iueyrhei}, on obtient:

\begin{align*}
\big(3+1\sqrt5)^2 & =3^2+5\times1^2+2\times3\times1\sqrt5\\
& = 14+6\sqrt5.
\end{align*}

On en déduit alors:

\[
\sqrt{\big(3+1\sqrt5)^2}=\sqrt{14+6\sqrt5}
\]

soit:
\[
\boxed{\sqrt{14+6\sqrt5}=3+\sqrt5}
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
\big(n+\sqrt5\big)^2 & = n^2 + 2n\sqrt5 + \big(\sqrt5\big)^2\\
& = n^2+5+2n\sqrt5.
\end{align*}
En prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient:
\[
\boxed{n+\sqrt5=\sqrt{n^2+5+2n\sqrt5}}
\]

\item $\sqrt{405+40\sqrt5}=\sqrt{20^2+5+2\times20\sqrt5}$ donc en prenant $n=20$ dans la formule précédente, on obtient:
\[
\boxed{\sqrt{405+40\sqrt5}=20+\sqrt5}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
