\begin{enumerate}
\item \label{q1ex27ch03} Développer $\big(x+y\sqrt5\big)^2$, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels.
\end{enumerate}
On a tracé ci-dessous dans un repère les ensembles des points $M\coord{x}{y}$ tels que $x^2+5y^2=n$, pour $n$ entier variant de 1 à 5.
\begin{center}
\textcolor{orange}{$n=1$}\quad
\textcolor{purple}{$n=2$}\quad
\textcolor{blue}{$n=3$}\quad
\textcolor{green!50!black}{$n=4$}\quad
\textcolor{red}{$n=5$}

\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[gray!50,dashed] (-2.5,-1.5) grid (2.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw[orange] (0,0) ellipse (1cm and 0.4472135954999579cm);
\draw[purple] (0,0) ellipse (1.4142135623730951cm and 0.6324555320336759cm);
\draw [blue] (0,0) ellipse (1.7320508075688772cm and 0.7745966692414834cm);
\draw [green!50!black] (0,0) ellipse (2cm and 0.8944271909999159cm);
\draw [red] (0,0) ellipse (2.23606797749979cm and 1cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[start=2]
\item Le point $M\coord{1}{0}$ appartient-il à l'ensemble \textcolor{orange}{orange} ?

En remplaçant $x$ par 1 et $y$ par 0 dans le développement de la question \ref{q1ex27ch03}, quelle égalité obtient-on ?
\item Existe-t-il des points à coordonnées entières sur les ensembles qui ne sont pas \textcolor{orange}{orange} ? Si oui, quelle(s) égalité(s) cela nous permet-il d'écrire ?
\end{enumerate}
Pour $n=9$, on a l'ensemble des points suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[gray!50,dashed] (-3.5,-1.5) grid (3.5,1.5);
\draw[thick,->,>=latex] (-3.5,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw (0,0) ellipse (3cm and 1.3416407864998738cm);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below right] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[above left] {1};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\begin{enumerate}[start=4]
\item À l'aide des coordonnées entières d'un point de cet ensemble, montrer que :
\[
\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5.
\]
\item Pour $n=14$, on peut constater que le point $Q\coord{3}{1}$ appartient à l'ensemble des points de coordonnées \coord{x}{y} tels que $x^2+5y^2=14$.

En déduire une écriture simplifiée du nombre $\sqrt{14+6\sqrt5}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, 
\[
\sqrt{n^2+5+2n\sqrt5}=n+\sqrt5.
\]
\item Trouver alors l'écriture simplifiée du nombre $\sqrt{405+40\sqrt5}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{center}

