
\begin{enumerate}
\item Il s'agit ici de trouver les coordonnées du point $M$ tel que $3\vv{MA} + 2\vv{MB}=\vv{0}$, avec $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{5}{4}$.

Il existe deux méthodes pour répondre à cette question:
\begin{itemize}
\item \textbf{Première méthode.}

On pose $M\coord{x}{y}$.

\begin{itemize}
\item $\vv{MA}\dbinom{x_A-x_M}{y_A-y_M} \iff \vv{MA}\dbinom{-3-x}{2-y}\iff3\vv{MA}\dbinom{3(-3-x)}{3(2-y)}$.
\item $\vv{MB}\dbinom{x_B-x_M}{y_B-y_M} \iff \vv{MB}\dbinom{5-x}{4-y}\iff2\vv{MB}\dbinom{2(5-x)}{2(4-y)}$.
\end{itemize}

Ainsi,
\begin{align*}
3\vv{MA} + 2\vv{MB}=\vv{0} & \iff \dbinom{3(-3-x)}{3(2-y)} + \dbinom{2(5-x)}{2(4-y)} = \dbinom{0}{0}\\
 & \iff \dbinom{-9-3x+10-2x}{6-3y+8-2y}=\dbinom{0}{0}\\
 & \iff \dbinom{-5x+1}{-5y+14}=\dbinom{0}{0}\\
 & \iff \begin{cases}
 -5x+1&=0\\
 -5y+14&=0
 \end{cases}\\
 & \iff \begin{cases}
 -5x=-1\\
 -5y=-14
 \end{cases}\\
 & \iff \begin{cases}
 x=\frac{1}{5}\\
 y=\frac{14}{5}
 \end{cases}
\end{align*}

Finalement, $\boxed{M\coord{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{14}{5}}}$.

\bigskip

\item \textbf{Seconde méthode.}

D'après la relation de Chasles, on a :
\begin{align*}
3\vv{MA} + 2\vv{MB} & = 3\big(\vv{MB} + \vv{BA}\big) + 2\vv{MB}\\
& = 3\vv{MB} + 3\vv{BA} + 2\vv{MB}\\
& = 5\vv{MB} + 3\vv{BA}.
\end{align*}

Ainsi,
\begin{align*}
3\vv{MA} + 2\vv{MB} = \vv{0} & \iff 5\vv{MB} + 3\vv{BA} = \vv{0}\\
& \iff 5\vv{MB} = -3\vv{BA}\\
& \iff 5\vv{MB} = 3\vv{AB}\\
& \iff \vv{MB} = \frac{3}{5}\vv{AB}\\
& \iff \dbinom{x_B-x_M}{y_B-y_M} = \frac{3}{5}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\\
& \iff \dbinom{5-x}{4-y}=\frac{3}{5}\dbinom{5-(-3)}{4-2}
\end{align*}

\begin{align*}
3\vv{MA} + 2\vv{MB} = \vv{0} & \iff \dbinom{5-x}{4-y}=\frac{3}{5}\dbinom{8}{2}\\
& \iff \dbinom{5-x}{4-y}=\dbinom{\frac{3}{5}\times8}{\frac{3}{5}\times2}\\
& \iff \dbinom{5-x}{4-y}=\dbinom{\frac{24}{5}}{\frac{6}{5}}\\
& \iff \begin{cases}
5-x&=\frac{24}{5}\\
4-y&=\frac{6}{5}
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x&=5-\frac{24}{5}=\frac{25}{5}-\frac{24}{5}=\frac{1}{5}\\
y&=4-\frac{6}{5}=\frac{20}{5}-\frac{6}{5}=\frac{14}{5}
\end{cases}
\end{align*}

Finalement, $\boxed{M\coord{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{14}{5}}}$.
\end{itemize}

\item Il s'agit ici de trouver les coordonnées du point $N$ tel que $\vv{NA} + \vv{NB}-3\vv{NC}=\vv{0}$, avec $A\coord{-3}{2}$,  $B\coord{5}{4}$ et $C\coord{1}{7}$.

Je vais faire comme dans la seconde méthode précédente: je vais utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître $\vv{NA}$ dans les vecteurs $\vv{NB}$ et $\vv{NC}$, en posant $N\coord{x}{y}$.

\begin{align*}
\vv{NA} + \vv{NB}-3\vv{NC} & = \vv{NA} + \big(\vv{NA} + \vv{AB}\big) - 3\big(\vv{NA} + \vv{AC}\big)\\
& = -\vv{NA} + \vv{AB} - 3\vv{AC}\\
& = \vv{AN} + \vv{AB} - 3\vv{AC}.
\end{align*}
Donc,
\begin{align*}
\vv{NA} + \vv{NB}-3\vv{NC}=\vv{0} 
& \iff \vv{AN} = 3\vv{AC} - \vv{AB}\\
& \iff \dbinom{x_N-x_A}{y_N-y_A} = 3\dbinom{x_C-x_A}{y_C-y_A} - \dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\\
& \iff \dbinom{x+3}{y-2} = 3\dbinom{4}{5} - \dbinom{8}{2}\\
& \iff \dbinom{x+3}{y-2} = \dbinom{12}{15} - \dbinom{8}{2}\\
& \iff \dbinom{x+3}{y-2} = \dbinom{4}{13}\\
& \iff \begin{cases}
x+3&=4\\
y-2&=13
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x=4-3=1\\
y=13+2=15
\end{cases}
\end{align*}

Finalement, $\boxed{N\coord{1}{15}}$.

\item Le point $P$ tel que $\vv{PA} + \vv{PB}-2\vv{PC}=\vv{0}$ existe-t-il ?

Pour répondre à cette question utilisons la relation de Chasles pour faire apparaître $\vv{PA}$ dans $\vv{PB}$ et $\vv{PC}$:
\begin{align*}
\vv{PA} + \vv{PB}-2\vv{PC} 
& = \vv{PA} + \big(\vv{PA}+\vv{AB}\big)-2\big(\vv{PA}+\vv{AC}\big)\\
& = \vv{PA} + \vv{PA}+\vv{AB} -2\vv{PA} - 2\vv{AC}\\
& = \vv{AB} - 2\vv{AC}.
\end{align*}

Ainsi, 
\begin{align*}
\vv{PA} + \vv{PB}-2\vv{PC}=\vv{0} 
& \iff \vv{AB} - 2\vv{AC}=\vv{0}\\
& \iff \vv{AB} = 2\vv{AC}
& \iff \dbinom{8}{2}=2\dbinom{4}{5}\\
& \iff \dbinom{8}{2}=\dbinom{8}{10}.
\end{align*}
Cette dernière égalité n'étant pas vraie, l'égalité $\vv{PA} + \vv{PB}-2\vv{PC}=\vv{0}$ non plus. 

\medskip

\uline{Par conséquent, il n'existe pas de point $P$ tel que $\vv{PA} + \vv{PB}-2\vv{PC}=\vv{0}$.}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
