
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
ABCD\text{ est un parallélogramme} & \iff \vv{AB} = \vv{DC}\\
& \iff \dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A} = \dbinom{x_C-x_D}{y_C-y_D}\\
& \iff \dbinom{3-(-3)}{-1-(-2)} = \dbinom{6-x_D}{2-y_D}\\
& \iff \dbinom{6}{1}=\dbinom{6-x_D}{2-y_D}\\
& \iff \begin{cases}
6 = 6-x_D\\
1 = 2-y_D
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x_D = 0\\
y_D = 1
\end{cases}
\end{aligned}$

Ainsi, $D\coord{0}{1}$.

\item On sait que $\vv{AB}\dbinom{6}{1}$. De plus, $\vv{AD}\dbinom{0-(-3)}{1-(-2)} \iff \vv{AD}\dbinom{3}{3}$.

Ainsi, \[
\mathcal{A}_{ABCD} = \det\big(\vv{AB};\vv{AD}\big) = \begin{vmatrix}
6 & 3\\
1 & 3
\end{vmatrix} = 6\times3 - 1\times3 = 18-3=15.
\]
L'aire de $ABCD$ est donc égale à 15.

\item On sait que l'aire d'un parallélogramme est égale à :
\[
\text{base } \times \text{ hauteur}.
\]

Donc, si l'on considère la hauteur du sommet $D$, que l'on va noter $h$, on a :
\[
\mathcal{A}_{ABCD} = AB \times h.
\]
Or,
\[
AB = \sqrt{6^2+1^2} = \sqrt{37}
\]
donc cette dernière égalité s'écrit :
\[
15 = \sqrt{37} \times h \]
c'est-à-dire:
\[
h = \dfrac{15}{\sqrt{37}}.
\]
La hauteur du parallélogramme $ABCD$ issue du sommet $D$ est donc égale à $\dfrac{15}{\sqrt{37}}$.

\item Le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$ est le milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ car $ABCD$ est un parallélogramme. Appelons ce point $I$. Alors,
\[
x_I = \dfrac{x_B + x_D}{2} = \dfrac{3}{2}
\]
et
\[
y_I = \dfrac{y_B + y_D}{2} = \dfrac{-1+1}{2}=0.
\]
Ainsi, $I\coord{\dfrac{3}{2}}{0}$.

\item On considère le point $E\coord{-6}{-\frac{5}{2}}$. Les points $E$, $A$ et $B$ sont-ils alignés ?

Pour répondre à cette question, on peut voir si $\vv{EA}$ et $\vv{AB}$ sont colinéaires.
\[
\vv{EA}\dbinom{-3-(-6)}{-2-\left(-\frac{5}{2}\right)} \iff \vv{EA}\dbinom{3}{\frac{1}{2}}.
\]
Ainsi,
\[
\det\big(\vv{EA};\vv{AB}\big) = \begin{vmatrix}
3 & 6\\
\frac{1}{2} & 1
\end{vmatrix} = 3\times1 - 6\times\frac{1}{2} = 3-3=0.
\]
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont alignés.
\end{enumerate}
