
\begin{enumerate}
\item $\vv{\text{AF}}=\vv{\text{BG}}+k\vv{\text{AC}}=\dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}}+k\vv{\text{AC}}$.

Ainsi, en prenant $\boxed{k=\dfrac{2}{3}}$, on a :

$
\begin{aligned}[t]
\vv{\text{AF}} & =\dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}}+\dfrac{2}{3}\vv{\text{AC}}\\[8pt]
\vv{\text{AF}}& =\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vv{\text{AB}}+2\vv{\text{BC}} \right)\\[8pt]
\vv{\text{AF}}& = \dfrac{1}{3}\vv{\text{AE}}.
\end{aligned}$

\medskip

Dans ce cas, $\vv{\text{AF}}$ et $\vv{\text{AE}}$ sont colinéaires et donc, A, E et F sont alignés.

\item On a la figure suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\coordinate (A) at (0,0) ;
\coordinate (B) at (3,0) ;
\coordinate (C) at (1,1) ;
\coordinate (G) at (4.5,0);
\coordinate (E) at ($(G)+(2,2)$);
\coordinate (F) at ($0.5*(B)+0.6666*(C)$);
\draw[->] (A) node[below left] {A} -- (B) node[below] {B};
\draw[->] (A) -- (C) node[above] {C};
\draw[dashed] (B) -- (G) node[below] {G};
\draw[dashed,->] (G) -- (E) node[above] {E};
\draw[dashed,->,red,thick] (A) -- ($0.5*(B)$) -- (F) node[above] {F};
\draw[dotted,blue] (A) -- (E);
\draw[dotted,green!50!black] (C) -- (G);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\vv{\text{CF}} & = \vv{\text{CA}}+\vv{\text{AF}}\\
& = \vv{\text{CA}}+\dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}}+\dfrac{2}{3}\vv{\text{AC}}\\[8pt]
\Aboxed{\vv{\text{CF}}& = \dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}} - \dfrac{1}{3}\vv{\text{AC}}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\vv{\text{CG}} & = \vv{\text{CA}} + \vv{\text{AB}} + \vv{\text{BG}}\\
& = -\vv{\text{AC}}+\vv{\text{AB}}+\dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}}\\[8pt]
\Aboxed{\vv{\text{CG}}&=\dfrac{3}{2}\vv{\text{AB}}-\vv{\text{AC}}}
\end{aligned}$
\end{itemize}

\medskip

On constate alors que :
\[
3\vv{\text{CF}}=\vv{\text{CG}}.
\]

Par conséquent, $\vv{\text{CF}}$ et $\vv{\text{CG}}$ sont colinéaires, ce qui implique que \underline{C, F et G sont alignés}.

\item Dans le repère $\big(\text{A}~;\vv{\text{AB}}~,~\vv{\text{AC}}\big)$, posons M\coord{x}{y}.

On a : 

\begin{itemize}
\item $\vv{\text{AF}}=\dfrac{1}{2}\vv{\text{AB}}+\dfrac{2}{3}\vv{\text{AC}}$ donc F\coord{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3}} ;

\item $\vv{\text{AG}}=\dfrac{3}{2}\vv{\text{AB}}$ donc G\coord{\dfrac{3}{2}}{0} ;

\item $\vv{\text{AE}}=\dfrac{3}{2}\vv{\text{AB}}+2\vv{\text{AC}}$ donc E\coord{\dfrac{3}{2}}{2}.
\end{itemize}

Ainsi,
\begin{align*}
\vv{\text{MF}}+\vv{\text{MG}}+\vv{\text{ME}}=\vv{\text{0}} & \Longleftrightarrow \dbinom{\frac{1}{2}-x}{\frac{2}{3}-y}+\dbinom{\frac{3}{2}-x}{0-y}+\dbinom{\frac{3}{2}-x}{2-y}=\dbinom{0}{0}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
\frac{1}{2}-x+\frac{3}{2}-x+\frac{3}{2}-x=0\\
\frac{2}{3}-y-y+2-y=0
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
3x=\frac{7}{2}\\
3y=\frac{8}{3}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
x=\frac{7}{6}\\
y=\frac{8}{9}
\end{cases}
\end{align*}

Ainsi, $\boxed{\text{M}\coord{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{8}{9}}}$.
\end{enumerate}
