
Introduisons le repère $(O;I,J)$ comme ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\filldraw[draw=numpagecorrige,fill=numpagecorrige!20] (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle;
\filldraw[draw=numpagecorrige,fill=numpagecorrige!30] (1,0) -- (1.57,0) -- (1.57,0.57) -- (1,0.57) -- cycle;
\filldraw[color=numpagecorrige,fill=numpagecorrige!40] (1.57,0) -- (1.8949,0) -- (1.8949,0.3249) -- (1.57,0.3249) -- cycle;
\node[above right] at (1,1) {A};
\node[above right] at (1.57,.57) {B};
\node[above right] at (1.89,0.32) {C};
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[below] at (1,0) {I};
\node[left] at (0,1) {J};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le carré du milieu est une réduction du carré de gauche avec un facteur de réduction $k$, donc son côté mesure $1 \times k = k$.

Le carré du droite est une réduction du carré du milieu avec un facteur de réduction $k$, donc son côté mesure $k \times k = k^2$.

Ainsi, dans le repère $(O;I,J)$,
\[
A\coord{1}{1}\qquad,\qquad B\coord{1+k}{k}\qquad,\qquad C\coord{1+k+k^2}{k^2}.
\]
On en déduit alors que:
\[
\vv{AB}\dbinom{k}{k-1}\qquad\text{et}\qquad \vv{AC}\dbinom{k+k^2}{k^2-1}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\det\big(\vv{AB},\vv{AC}\big) & = k(k^2-1) - (k-1)(k+k^2)\\
& = k(k-1)(k+1) - (k-1)k(k+1)\\
& = 0.
\end{align*}
Les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont donc toujours colinéaires, quelle que soit la valeur de $k$.

Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ sont toujours alignés.
