
Posons:
\begin{itemize}
\item $x$ le prix d'un kg de pommes;
\item $y$ le prix d'un kg de carottes.
\end{itemize}

\og Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes.

Mme Martin a payé 18,5 \euro. \fg{}

Cela signifie que $5x+2y=18,5$.

\medskip

\og Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes.

M. Bernard a payé 28,5 \euro. \fg{} 

Cela signifie que $3x+7y=28,5$.

On doit alors résoudre le système:
\[
(S)\;:\; \systeme{5x+2y={18,5}@(L_1),3x+7y={28,5}@(L_2)}
\]
\begin{itemize}
\item Trouvons $y$ en éliminant les $x$.
\[
(S) \iff \systeme{15x+6y={55,5}@(L_1)\leftarrow3(L_1),15x+35y={142,5}@(L_2)\leftarrow5(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_2)-(L_1) & \iff (15x+35y) - (15x+6y) = 142,5-55,5\\
& \iff 29y = 87\\
& \iff y = \dfrac{87}{29} = 3
\end{align*}

\item Trouvons $x$ en éliminant $y$.
\[
(S) \iff \systeme{35x+14y={129,5}@(L_1)\leftarrow7(L_1),6x+14y=57@(L_2)\leftarrow2(L_2)}
\]
\begin{align*}
(L_1)-(L_2) & \iff (35x+14y)-(6x+14y)=129,5-57\\
& \iff 29x=72,5\\
& \iff x = \dfrac{72,5}{29}=2,5.
\end{align*}
\end{itemize}

\underline{Ainsi, 1 kg de pommes vaut 2,50 \euro{} et 1 kg de carottes vaut 3 \euro.}
