
Deux droites sont confondues si leurs équations cartésiennes sont équivalentes, c'est-à-dire si, en multipliant l'une, on obtient l'autre.

\begin{enumerate}
\item $(d)$ : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0$ et $(d')$ : $20x-18y+3=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0\\
& \iff 30\times\left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10}\right) = 30 \times 0\\
& \iff 30\times\dfrac{2}{3}x - 30\times\dfrac{3}{5}y + 30\times\dfrac{1}{10} = 0
\end{align*}
\begin{align*}
& \iff 20x - 18y + 3 = 0 \leftarrow\text{ équation de }(d')\\
& \iff M\coord{x}{y}\in(d').
\end{align*}
\underline{Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.}
\begin{rem}
Comment obtenir le nombre \og 30 \fg{} par lequel j'ai multiplié ? J'ai regardé les dénominateurs des fractions $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{10}$ et j'ai pris le plus petit nombre dans leurs table (le ppcm de 3, 5 et 10 est égal à 30).
\end{rem}

\item $(d)$ : $\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0$ et $(d')$ : $5x+70y-7=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0\\
& \iff 35 \times \left(\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5}\right) = 35 \times0\\
& \iff 5x+70y-7=0\leftarrow\text{ équation de }(d')\\
& \iff M\coord{x}{y}\in(d').
\end{align*}
\underline{Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.}

\item $(d)$ : $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0$ et $(d')$ : $-9x+25y+15=0$.
\begin{align*}
M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0\\
& \iff 15\times\left(\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1\right) = 0\\
& \iff 9x-25y+15=0\\
& \iff -9x+25y-15=0\text{ en multipliant par }(-1)
\end{align*}
Nous n'obtenons pas la même écriture que celle de l'équation de $(d')$ (le signe de \og 15 \fg{} n'est pas le même) donc  \underline{les deux droites ne sont pas confondues}.
\end{enumerate}
