
Posons $f(x)=ax+b$.

\begin{enumerate}
\item $f(0)=2$ et $f(1)=5$.
\begin{itemize}
\item $f(0)=2 \iff a\times0+b=2 \iff b=2$. Donc $f(x)=ax+2$.
\item $f(1)=5 \iff a\times1+2=5 \iff a=5-2=3$.
\end{itemize}
\underline{Ainsi, $f(x)=3x+2$.}

\item $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$.
\begin{itemize}
\item $f(-1)=-1 \iff a\times(-1)+b=-1 \iff -a+b=-1 \iff b=-1+a$.
\item $\begin{aligned}[t]
f(1)=1 & \iff a\times1+b=1\\
& \iff a+b=1\\
& \iff a+(-1+a)=1\\
& \iff 2a=2\\
& \iff a=1.
\end{aligned}$
\end{itemize}
On en déduit que $b=-1+a=-1+1=0$, et donc \underline{$f(x)=x$}.

\item $f(-3)=2$ et $f(2)=-3$.
\begin{itemize}
\item $f(-2)=3 \iff -2a+b=3 \iff b = 3+2a$.
\item $f(3)=-2 \iff  3a+b=-2 \iff b=-2-3a$.
\end{itemize}
On en déduit :
\[
3+2a=-2-3a \iff 2a+3a=-2-3 \iff 5a=-5\iff a=-1
\]
et donc:
\[
b=3+2a=3+2\times(-1)=3-2=-1.
\]

Finalement, \underline{$f(x)=-x-1$}.

\item $f(5)=1$ et $f(-5)=2$.
\begin{itemize}
\item $f(5)=1 \iff 5a+b=1 \iff b = 1-5a$.
\item $f(-5)=2 \iff -5a+b=2 \iff b=2+5a$.
\end{itemize}
On en déduit que:
\[
1-5a=2+5a \iff -5a-5a=2-1 \iff -10a=1 \iff a=-\frac{1}{10}
\]
et donc:
\[
b=1-5a=1-5\times\left(-\frac{1}{10}\right) = 1+\frac{5}{10}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
\]
Finalement, $\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{10}x+\frac{3}{2}}$.
\end{enumerate}
