
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le tableau de signes de $f(x)$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$4x-1$/0.5,$2-3x$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\leqslant0$ est donc:
\[
\boxed{S=\intervFF{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{3}}}
\]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour vérifier que $f(x)-g(x)=-2(x-2)(3x-2)$, on peut développer les membres de droite et gauche séparément, et constater que les formes développées sont égales:
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)-g(x) & = (4x-1)(2-3x) - (-6x^2-5x+6)\\
& = 8x-12x^2-2+3x + 6x^2+5x-6\\
& = -6x^2 +16x -8.
\end{aligned}$

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
-2(x-2)(3x-2) & = -2(3x^2-2x-6x+4)\\
& = -2(3x^2-8x+4)\\
& = -6x^2+16x-8.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\underline{Les deux formes développées sont donc égales: $f(x)-g(x)=-2(x-2)(3x-2)$.}

\item Dressons le tableau de signes de $f(x)-g(x)$ à l'aide de la forme factorisée trouvée à la question précédente:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.8,$-2$/0.8,$x-2$/0.8,$3x-2$/0.8,$f(x)-g(x)$/0.8}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,,-}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors conclure que:
\begin{itemize}
\item $f(x)-g(x)<0$, et donc $f(x) < g(x)$, sur $\intervOO{-\infty}{\dfrac{2}{3}}$ et sur $\intervOO{2}{+\infty}$, soit $\mathcal{C}_f$  sous $\mathcal{C}_g$ sur ces intervalles;

\bigskip

\item $f(x)-g(x)>0$, et donc $f(x)>g(x)$, sur $\intervOO{\dfrac{2}{3}}{2}$, soit $\mathcal{C}_f$  au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur cet intervalle;

\bigskip

\item $f(x)-g(x)=0$, soit $f(x)=g(x)$, pour $x=\dfrac{2}{3}$ et $x=2$ et donc que les courbes se coupent aux points de coordonnées $\coord{2}{f(2)}$ et $\coord{\dfrac{2}{3}}{f\left(\dfrac{2}{3}\right)}$, c'est-à-dire aux points de coordonnées $\coord{2}{-28}$ et $\coord{\dfrac{2}{3}}{0}$.
\end{itemize}

\item Comparer alors sans calcul $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$:

$\dfrac{2}{3}< \dfrac{\pi}{2} < 2$ donc d'après l'étude précédente de la position relative des deux courbes, $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) > g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
