
Pour tous $a$ et $b$ strictement positifs,
\begin{align*}
f(a)+b) < f(a)+f(b) & \iff  \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}\\
& \iff \big(\sqrt{a+b}\big)^2 < \big(\sqrt{a} + \sqrt{b}\big)^2 \textcolor{red}{\text{\small car $x\mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\R_+$}}\\
& \iff a+b < \big(\sqrt{a}\big)^2 + 2\sqrt{a}\times\sqrt{b} + \big(\sqrt{b}\big)^2\\
& \iff a+b < a + 2\sqrt{ab} + b\\
& \iff 0 < 2\sqrt{ab}\quad \textcolor{red}{ \leftarrow\text{ ce qui est toujours vrai.}}
\end{align*}

Nous avons raisonné par \textit{équivalences}, ce qui justifie que dans la mesure où \og $2\sqrt{ab}>0$ \fg est toujours vraie, \og $f(a+b)<f(a)+f(b)$ \fg{} l'est aussi.
