

Supposons que la courbe représentative de la fonction carré coupe celle de la fonction racine carrée en au moins un point. Notons alors ce point $I\coord{x}{y}$.

Alors, $y=x^2$ (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction carré) et $y=\sqrt{x}$  (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction racine carrée), avec $x\geqslant0$. Ainsi,
\begin{align*}
x^2 = \sqrt{x} & \iff \big(x^2\big)^2 = \big(\sqrt{x}\big)^2\\
& \iff x^4=x\\
& \iff x^4-x=0\\
& \iff x(x^3-1)=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x^3-1=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x^3=1\\
& \iff x=0\text{ ou }x=1.
\end{align*}

Ainsi, il existe deux points d'intersection :
\begin{itemize}
\item l'un d'abscisse 0, et donc d'ordonnée $y=0^2=0$; c'est l'origine du repère,
\item l'autre d'abscisse 1, et donc d'ordonnée $y=1^2=1$.
\end{itemize}
