
Supposons que la courbe représentative de la fonction inverse coupe celle de la fonction racine carrée en au moins un point. Notons alors ce point $I\coord{x}{y}$.

Alors, $y=\dfrac{1}{x}$ (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction inverse), avec $x\neq0$, et $y=\sqrt{x}$  (car $I$ appartient à la courbe représentative de la fonction racine carrée), avec $x\geqslant0$. Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{1}{x} = \sqrt{x} & \iff \left(\dfrac{1}{x}\right)^2= \big(\sqrt{x}\big)^2\\
& \iff \dfrac{1}{x^2}=x\\
& \iff \dfrac{1}{x^2}\textcolor{red}{\times\dfrac{1}{x}}
 =x\textcolor{red}{\times\dfrac{1}{x}}\\
& \iff \dfrac{1}{x^3}=1\\
& \iff x^3=1\\
& \iff x=1.
\end{align*}

Ainsi, il n'existe qu'un seul point d'intersection, donc l'abscisse vaut 1 et dont l'ordonnée vaut $y=\sqrt1=1$.
