On considère deux fonctions $f$ et $g$ telles que :
\[
f(x)=2+\sqrt{x}-x\qquad\text{et}\qquad g(x)=x+\dfrac{1}{x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Quel est le domaine de définition de $g$ ?
\item Montrer que les courbes représentatives de $f$ et $g$ se coupent au point $A\coord{1}{2}$.
\item Tracer sur une calculatrice les deux courbes, puis en déduire le nombre de points d'intersection de ces deux courbes.
\item En déduire la valeur des solutions de l'équation $f(x)=g(x)$. On donnera une valeur approchée au centième si nécessaire.
\end{enumerate}

\textbf{À partir de là, les questions sont assez compliquées.}

\begin{enumerate}[start=6]
\item Montrer que l'équation $2x^2-2x+1=x\sqrt{x}$ admet les mêmes solutions que l'équation $f(x)=g(x)$.
\item Montrer alors que les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont aussi solutions de l'équation $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=0$.
\item On sait que $x=1$ est une solution de cette dernière équation. On peut alors écrire : $4x^4-9x^3+8x^2-4x+1=(x-1)(ax^3+bx^2+xc+d)$.

Trouver les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{enumerate}
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