

\begin{enumerate}
\item Si $x\in\intervFF{5}{8}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFF{25}{64}}$.

En effet, $5>0$ et $8>0$, et la fonction carré est strictement croissante sur $\R_+$ donc quand on passe aux carrés, l'ordre ne change pas :
\[
5 \leqslant x \leqslant 8 \iff 5^2 \leqslant x^2 \leqslant 8^2.
\]

\item Si $x\in\intervFO{-4}{-2}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervOF{4}{16}}$.

En effet, $-4<0$ et $-2<0$, et la fonction carré est strictement décroissante sur $\R_-$ donc quand on passe aux carrés, on change l'ordre :
\[
-4 \leqslant x < -2 \iff (-4)^2 \geqslant x^2 > (-2)^2.
\]

\item Si $x\in\intervOF{-1}{1}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFF{0}{1}}$. On peut le voir sur le graphique suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=5,yscale=5]
\draw[gray,dashed] (-1,0) grid[step=0.2] (1,1);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (1,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,1);
\draw[red,line width=3pt,)-*] plot[domain=-1:1.01,samples=70] (\x,{\x*\x});
\foreach\x in {-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {0.2,0.4,0.6,0.8,1}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[<->,thick,red] (1.2,0) -- (1.2,1);
\node[text width=2cm,align=center,right,fill=white,text=red,draw=red] (note) at (1.25,0.5) {$x^2$ varie entre 0 et 1.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $x\in\intervOO{-2}{6}$ alors $x^2\in\textcolor{red}{\intervFO{0}{36}}$. On peut le voir sur le graphique suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,xscale=1,yscale=0.2]
\draw[gray,dashed] (-3,0) grid[xstep=1,ystep=5] (7,50);
\draw[->,thick] (-3,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,50);
\draw plot[domain=-3:7,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[red,line width=3pt,*-(] plot[domain=-2.1:6,samples=70] (\x,{\x*\x});
\foreach\x in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
{
\node[below] at (\x,0) {$\x$};
}
\foreach\y in {5,10,15,20,25,30,35,40,45}
{
\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[red,dashed] (-2,4) -- (0,4) node[right] {4};
\draw[red,dashed] (6,36) -- (0,36) node[left,outer xsep=1.5em] {36};
\draw[<->,thick,red] (6.5,0) -- (6.5,36);
\node[text width=2cm,align=center,right,fill=white,text=red,draw=red] (note) at (6.75,18) {$x^2$ varie entre 0 et 36.};
\drawshadow{note}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
