
\begin{enumerate}
\item On développe la forme canonique donnée par l'énoncé :
\begin{align*}
9(x+1)^2-25 & = 9(x^2+2x+1)-25\\
& = 9x^2+18x+9-25\\
& = 9x^2+18x-16\\
& = f(x).
\end{align*}
\underline{Donc $f(x)=9(x+1)^2-25$.}

\item On développe la forme factorisée donnée par l'énoncé:
\begin{align*}
(3x-2)(3x+8) & = (3x)\times(3x)+8\times3x-2\times3x-2\times8\\
& = 9x^2+24x-6x-16\\
& = 9x^2+18x-16\\
& = f(x).
\end{align*}
\underline{Donc $f(x)=(3x-2)(3x+8)$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, il faut que $f(x)$ soit sous la forme factorisée.
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff (3x-2)(3x+8)=0\\
& \iff 3x-2=0\qquad\text{ou}\qquad 3x+8=0\\
& \iff x=\dfrac{2}{3}\qquad\text{ou}\qquad x=-\dfrac{8}{3}.
\end{align*}

\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est donc : $S=\left\{-\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=-25$, nous allons prendre la forme canonique de $f(x)$ car \og $-25$ \fg{} y apparaît :
\begin{align*}
f(x)=-25 & \iff 9(x+1)^2-25=-25\\
& \iff 9(x+1)^2=0\\
& \iff (x+1)^2=0\\
& \iff x+1=0\\
& \iff x=-1.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=-25$ est donc : $S=\{-1\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=-16$, nous allons prendre la forme développée de $f(x)$ car \og $-16$ \fg{} y apparaît :
\begin{align*}
f(x)=-16 & \iff 9x^2+18x-16=-16\\
& \iff 9x^2+18x=0\\
& \iff 9x(x+2)=0\\
& \iff 9x=0\text{ ou }x+2=0\\
& \iff x=0\text{ ou }x=-2.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=-16$ est donc : $S=\{-2~;~0\}$.}

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=25$, nous allons prendre la forme canonique. En effet, la forme factorisée ne sert qu'à résoudre les équations de la forme $f(x)=0$, et la forme développée nous donne une équation de la forme $9x^2+18x-16=25$, c'est-à-dire $9x^2+18x-41=0$, que l'on ne peut pas résoudre car $9x^2+18x-41$ ne peut pas se factoriser simplement (pas de facteur commun, et ce n'est pas une identité remarquable).
\begin{align*}
f(x)=25 & \iff 9(x+1)^2-25=25\\
& \iff 9(x+1)^2=50\\
& \iff (x+1)^2=\dfrac{50}{9}\\
& \iff x+1=-\sqrt{\dfrac{50}{9}}\text{ ou }x+1=\sqrt{\dfrac{50}{9}}\\
& \iff x+1=-\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt9}\text{ ou }x+1=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt9}\\
%& \iff x+1=-\dfrac{\sqrt{25\times2}}{3}\text{ ou }x+1=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{3}\\
& \iff x+1=-\dfrac{5\sqrt2}{3}\text{ ou }x+1=\dfrac{5\sqrt2}{3}\\
& \iff x=-1-\dfrac{5\sqrt2}{3}\text{ ou }x=-1+\dfrac{5\sqrt2}{3}.
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution de l'équation $f(x)=25$ est donc : $S=\left\{-1-\dfrac{5\sqrt2}{3}~;~-1+\dfrac{5\sqrt2}{3}\right\}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
