
\begin{enumerate}
\item Notons $x$ la note au devoir coefficient 2. Il faut :
\[
\dfrac{(0,5+2+1)\times8+2x}{0,5+2+1+2}\geqslant10
\]
soit :
\[
28+2x\geqslant10\times5,5.
\]
On a alors :
\[
x\geqslant\dfrac{55-28}{2}
\]
ou encore :
\[
x\geqslant13,5.
\]

\uline{Il faut donc que Hugo obtienne une note supérieure ou égale à 13,5/20 lors du prochain contrôle.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Notons $\overline{x_1}=14,5$ la moyenne de la Seconde 1 et $\overline{x_2}$ celle de la Seconde 2. Il faut :
\begin{align*}
\dfrac{30\times14,5+26\times\overline{x_2}}{30+26}\geqslant12 & \iff 435+26\overline{x_2}\geqslant12\times56\\
& \iff \overline{x_2}\geqslant\dfrac{12\times56-435}{26}\\
& \iff \overline{x_2}\geqslant9,12.
\end{align*}
\uline{Il faut donc que la moyenne de la Seconde 2 soit supérieure ou égale à 9,12.}

\item Lors des précédents devoirs, $\overline{x_2}=0,8\overline{x_1}$. Ici, $0,8\overline{x_1}=0,8\times14,5=11,6$.

\uline{M. Zébulon peut donc se rassurer : il est fort probable que la moyenne de ses deux classes soit supérieure à 12/20.}
\end{enumerate}

\item La variance des notes de Kévin est : $1,643^2\approx2,7$.

Notons $n$ sa note au dernier devoir, $\overline{x}$ sa moyenne sur ses trois contrôles et V la variance. Alors :
\[
\begin{cases}
\overline{x}=\dfrac{5\times2+8\times1+2n}{5}\\[10pt]
\text{V}=\dfrac{2\big(5-\overline{x}\big)^2+\big(8- \overline{x}\big)^2+2\big(n-\overline{x}\big)^2}{5}
\end{cases}
\]
On obtient :
\[
\begin{cases}
\overline{x}=\dfrac{18}{5}+\dfrac{2}{5}n\\[10pt]
\text{V}=\dfrac{1}{5}\big[ 5\overline{x}^2-(36+4n)\overline{x}+114+2n^2 \big]
\end{cases}
\]
En remplaçant dans la deuxième égalité $\overline{x}$ par son expression en fonction de $n$, on a :
\begin{align*}
\text{V} & = \dfrac{1}{25}(18+2n)^2-\dfrac{1}{25}\underbrace{(36+4n)}_{=2(18+2n)}(18+2n)+\dfrac{1}{5}(114+2n^2)\\[6pt]
& = -\dfrac{1}{25}(18+2n)^2+\dfrac{1}{25}(570+10n^2)\\[6pt]
& = \dfrac{1}{25}(10n^2+570-18^2-72n-4n^2)\\[6pt]
& = \dfrac{2}{25}(3n^2-36n+123).
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\text{V}=2,7 & \iff \dfrac{2}{25}(3n^2-36n+123)=\dfrac{27}{10}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123=\dfrac{27}{10}\times\dfrac{25}{2}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123=\dfrac{135}{4}\\[6pt]
& \iff 3n^2-36n+123-\dfrac{135}{4}=0\\[6pt]\\
& \iff 12n^2-144n+357=0.
\end{align*}
La fonction $n\mapsto92n^2-144n-233$ est une fonction du second degré. En la traçant à la calculatrice, on trouve qu'elle coupe l'axe des abscisses en $n=3,5$ et $n=8,5$.

Mais le fait que l'enseignante puisse tripler la note suggère que cette note ne peut pas être 8,5 (sans quoi la note triplée serait supérieure à 20).

\uline{Kévin a donc eu 3,5/20}.
\end{enumerate}
