
\begin{enumerate}
\item Par construction, on peut dire que $A$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $P$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Donc :
\[
{\rm PA=PB}\qquad\text{et}\qquad \angleor{PB}{PA}=\dfrac{\pi}{2}
\]
soit :
\[
|a-p|=|b-p|\qquad\text{et}\qquad\arg\left(\dfrac{a-p}{b-p}\right)=\dfrac{\pi}{2}
\]
D'où :
\[
\dfrac{a-p}{b-p}=\e^{\i\frac{\pi}{2}}=\i
\]
et donc :
\begin{align*}
 & a-p=\i(b-p)\\
\iff\ & a-\i b=p-\i p\\
\iff\ & \boxed{p=\dfrac{a-\i b}{1-\i}}
\end{align*}

De même, on obtient :
\[ q = \frac{b-\i c}{1-\i}\quad ,\quad
 r=\frac{c-\i d}{1-\i}\quad,\quad s=\frac{d-\i a}{1-\i}.\]

\item $\dfrac{s-q}{r-p}=\dfrac{d-b+\i(c-a)}{c-a+\i(b-d)}=\i$.

Donc $\arg\left(\dfrac{s-q}{r-p}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ et $\left| \dfrac{s-q}{r-p} \right| = 1$.

\underline{On en déduit que $(PR)$ et $(QS)$ sont perpendiculaires et que $PR = QS$.}
\end{enumerate}
