
\begin{enumerate}
\item Supposons que $n$ soit pair. Alors, il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

Ainsi, $n^2-1=(2k+1)^2-1=(2k+1-1)(2k+1+1)=(2k)(2k+2)=4k(k+1)$.

\underline{Par conséquent, 4 divise bien $n^2-1$.}

\item Supposons que 4 divise $n^2-1$. Alors, il existe un entier $k$ tel que $n^2-1=4k$, soit\linebreak $n^2=4k+1$.

On se demande si $n$ est nécessairement impair. Supposons donc qu'il ne le soit pas, et qu'il existe un entier $p$ tel que $n=2p$.

Alors, $n^2=4k+1 \iff 4p^2=4k+1 \iff 4(p^2-k)=1$, ce qui est impossible (car cela voudrait dire que 1 est divisible par 4).

\underline{Ainsi, la réciproque est vraie.}
\end{enumerate}
