
\begin{enumerate}
\item On sait que $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq1$. Ainsi,
\[
1+5+5^2+\cdots+5^{n-1}=\dfrac{1-5^n}{1-5}=\dfrac{5^n-1}{4}.
\]

\item La somme $1+5+5^2+\cdots+5^{n-1}$ est entière donc $5^n-1$ est divisible par 4.

Ainsi, $5^n-1+4k \in\N$ pour tout entier relatif $k$.

En prenant $k=5$, on obtient $5^n-1+4\times5=5^n+19$, donc $5^n+19$ est toujours divisible par 4.
\end{enumerate}
