
\begin{enumerate}
\item $a\in\N$.

$\begin{aligned}[t]
a^5-a & = a(a^4-1)\\
		  & = a(a^2-1)(a^2+1)\\
		  & = a(a-1)(a+1)(a^2+1).
\end{aligned}$

Entre $a$ et $a+1$, il y a un nombre pair ; donc $a^5-a$ est divisible par 2.

$a-1$, $a$ et $a+1$ sont trois nombres consécutifs. Si l'un deux est divisible par 5, alors $a^5-1$ l'est aussi et donc au final, il est divisible par 10.

Si aucun des nombres $a-1$, $a$ et $a+1$ n'est divisible par 5, alors notons $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par 5 : $a=5q+r$, $0<r<5$, $q\in\N$.

Si $a-1$ n'est pas divisible par 5, alors $r\neq1$ ;

si $a+1$ n'est pas divisible par 5, alors $r\neq4$.

Alors, $a^2+1=(5q+r)^2+1=25q^2+10qr+r^2+1$, avec $r=2$ ou $r=3$.

\begin{itemize}
\item Si $r=2$, $r^2+1=5$ ;
\item Si $r=3$, $r^2+1=10$.
\end{itemize}

Dans les deux cas, $a^2+1$ est divisible par 5.

\uline{Ainsi, $a^5-a$ est divisible par 5 et par 2, donc par 10.}

\item $a^5-b^5$ divisible par 10.

Or, on peut écrire :
\[
a^5-b^5 = a^5-a+a-(b^5-b)-b=(a^5-a)-(b^5-b)+(a-b).
\]

$a^5-a$ et $b^5-b$ sont divisibles par 10 d'après la question précédente ; ainsi, si $a^5-b^5$ est divisible par 10, $a-b$ doit l'être aussi.

Ainsi, $a-b=10q$, $q\in\N$ et donc $a=10q+b$. En ajoutant $b$ dans les deux membres, on obtient $a+b=10q+2b=2(5q+b)$, et donc $a+b$ est divisible par 2.

\medskip

$a-b$ est divisible par 10 et $a+b$ est divisible par 2, donc $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ est divisible par 20.
\end{enumerate}
