
\begin{enumerate}
\item Supposons que $d$ divise $a=12n+7$ et $b=3n+1$. Alors, $d$ divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$:
\[
\forall\coord{\lambda}{\mu}\in\Z^2,\ d | \lambda(12n+7)+\mu(3n+1).
\]
Choisissons \coord{\lambda}{\mu} de sorte que la combinaison linéaire de dépende plus de $n$. Prenons alors $\lambda=1$ et $\mu=-4$.

Alors, $d$ divise $12n+7-4(3n+1)$, soit \underline{$d$ divise 3}.

\item Faisons un raisonnement par l'absurde: supposons que $\dfrac{12n+7}{3n+1}$ ne soit pas irréductible.

Alors, il existe un enter $d$ qui divise $12n+7$ et $3n+1$, donc qui divise 3 (d'après la question précédente).

Ainsi, $d=1$ ou $d=3$ ou $d=-1$ ou $d=-3$.

\medskip

Les cas $d=1$ et $d=-1$ ne sont pas possibles car la fraction est supposée simplifiable.

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Si $d=3$ ou $d=-3$ alors 3 divise $12n+7$, ce qui est impossible car 3 divise $12n$ mais pas 7.

\medskip

Il y a donc contradiction; notre hypothèse de départ est alors fausse: $\dfrac{12n+7}{3n+1}$ est irréductible.
\end{enumerate}
