
On sait que $10 \equiv 1 \mod 3$ donc:
\[
\forall k\in\N,\qquad 10^k \equiv 1 \mod 3
\]
et donc:
\[
\sum_{k=0}^n x_k \times 10^k \equiv \sum_{k=0}^n x_k \mod 3.
\]
\begin{align*}
x \text{ est divisible par 3 } & \iff x\equiv 0 \mod 3\\[8pt]
& \iff  \sum_{k=0^N} x_k \equiv 0 \mod 3\\[8pt]
& \iff \text{ la somme des chiffres de x divise 3}.
\end{align*}

\medskip

$10 \equiv 1 \mod 9$ donc le critère de divisibilité par 9 est identique: un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l'est aussi.
