
Remarquons que:
\[
73 \equiv 3\quad (5)
\]
donc:
\[
73^{37} \equiv 3^{37}\quad (5).
\]
\newpage
Regardons les premières puissances de 3 modulo 5:
\begin{itemize}
\item $3^1\equiv 3\quad (5)$
\item $3^2\equiv 9\equiv 4 \quad (5)$
\item $3^3\equiv 27 \equiv 2\quad (5)$
\item $3^4\equiv \big(3^2\big)^2 \equiv 4^2 \equiv 1\quad (5)$
\end{itemize}
Ce dernier reste est intéressant car il signifie que $\big(3^4\big)^k\equiv 1\quad (5)$ pour tout entier naturel $k$.

\medskip

Or,
\[
3^{37} = 3^{4\times 9 + 1}
\]
donc:
\[
73^{37} \equiv 3^{4\times9+1}\quad (5)
\]
soit:
\[
73^{37} \equiv \big(3^{4}\big)^9 \times 3^1\quad (5)
\]
donc:
\[
73^{37} \equiv 1 \times 3^1\quad (5).
\]
Finalement,
\[
\boxed{73^{37} \equiv 3\quad (5).}
\]
\underline{Ainsi, le reste de la division euclidienne de $73^{37}$ par 5 est 3.}
