
\begin{enumerate}
\item On cherche $x$ tel que $5x\equiv1\mod7$. On constate que :
\begin{align*}
5\times1\equiv5\mod7\\
5\times2\equiv3\mod7\\
5\times3\equiv1\mod7
\end{align*}

Donc, si $x\equiv3\mod7$ alors $5x\equiv5\times3\equiv1\mod7$.

De plus, si $5x\equiv1\mod7$ alors $3\times5x\equiv3\mod7$, soit $15x\equiv3\mod7$ donc\linebreak $x\equiv3\mod3$.

On a alors l'équivalence suivante : $x\equiv3\mod7\iff5x\equiv1\mod7$.

\uline{Par conséquent, les inverses de 5 modulo 7 sont toutes les valeurs de $x$ telles que $x\equiv3\mod7$.}

\item On cherche $x$ tel que $3x\equiv1\mod5$.

On constate que :
\begin{align*}
3\times1\equiv3\mod5\\
3\times2\equiv1\mod5
\end{align*}

On peut alors raisonner de la même façon qu'à la question précédente.

\uline{Par conséquent, un inverse de 3 modulo 5 sont toutes les valeurs de $x$ telles que $x\equiv2\mod5$.}

\item On cherche $x$ tel que $6x\equiv1\mod15$.

On constate que :
\begin{align*}
6\times1\equiv6\mod15\\
6\times2\equiv12\mod15\\
6\times3\equiv3\mod15\\
6\times4\equiv9\mod15\\
6\times5\equiv0\mod15\\
6\times6\equiv6\mod15
\end{align*}
On constate alors que c'est un cas particulier :
\[
\begin{cases}
6\times(1+5k)\equiv1\mod15,\ k\in\N\\
6\times(2+5k)\equiv12\mod15,\ k\in\N\\
6\times(3+5k)\equiv3\mod15,\ k\in\N\\
6\times(4+5k)\equiv9\mod15,\ k\in\N\\
6\times(5+5k)\equiv0\mod15,\ k\in\N
\end{cases}
\]
\uline{Par conséquent, il n'existe pas d'inverse à 6 modulo 15.}

\begin{rem}
Cela vient du fait que 6 et 15 ne sont pas premiers entre eux.
\end{rem}
\end{enumerate}
