
Supposons que 7 divise $a^2+b^2$.

Les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par 7 sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
\begin{align*}
a\equiv0\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv0\mod7\\
a\equiv1\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv1\mod7\\
a\equiv2\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv4\mod7\\
a\equiv3\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv9\equiv2\mod7\\
a\equiv4\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv16\equiv2\mod7\\
a\equiv5\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv25\equiv4\mod7\\
a\equiv6\mod 7&\Rightarrow a^2\equiv36\equiv1\mod7\\
\end{align*}

\vspace*{-2em}
Il n'y a donc que 4 restes possibles dans la division euclidienne de $a^2$ par 7 : 0, 1, 2 ou 4.

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Il en est de même pour $b^2$.

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Or, $a^2+b^2\equiv0\mod7$ donc seul le couple \coord{0}{0} convient.

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\uline{Ainsi $a\equiv0\mod7$ et $b\equiv0\mod7$, soit 7 divise $a$ et $b$.}

\bigskip

La réciproque est vraie car si 7 divise $a$ et $b$, alors $a^2\equiv0\mod7$ et $b^2\equiv0\mod7$, donc $a^2+b^2\equiv0\mod7$.
