
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Initialisation : $4^0=1$ et $1+3\times0=1$ donc $4^n\equiv1+3n\mod9$ est vraie pour $n=0$.

\item Hérédité : supposons que pour un entier $n$ fixé, $4^n\equiv1+3n\mod9$.

Alors, $4^{n+1}\equiv4\times(1+3n)\mod9$, soit $4^{n+1}\equiv4+12n\equiv4+3n\equiv1+3(n+1)\mod9$.

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $4^n\equiv1+3n\mod9$.}

\item $\begin{aligned}[t]
2^{2n}+15n-1 & \equiv4^n+15n-1\mod9\\
						 & \equiv1+3n+15n-1\mod9\\
						 & \equiv18n\mod9\\
						 & \equiv0\times n\mod9\\
						 & \equiv0\mod9.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
