
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
108 & = 1\times55+53\\
55 & = 1\times53+2\\
53 & = 26\times2+1\\
2  & = 2\times1+0
\end{aligned}$

\uline{Donc $\pgcd{108}{55}=1$.} De l'algorithme précédent, on peut écrire :

$\begin{aligned}[t]
1 & = 53-26\times2\\
  & = (108-55)-26\times(55-53)\\
  & = 108-55-26\times55+26\times53\\
  & = 108-27\times55+26(108-55)\\
  & = 27\times108 -53\times55
\end{aligned}$

Ainsi, si $x_0=27$ et $y_0=-53$ sont deux solutions particulières de l'équation diophantienne $108x+55y=1$.

\item On a :
\[
\begin{array}{c@{\;\times\;}c@{\;+\;}c@{\;\times\;}c@{\;=\;}c}
108 & 27 & 55 & (-53) & 1\\
108 & x  & 55 &   y   & 1\\
\hline
108 & (27-x) & 55 & (-53-y) & 0
\end{array}
\]
Ainsi :
\[
108(27-x)=55(53+y).
\]
Or, $\pgcd{108}{55}=1$ donc d'après le théorème de Gauss, 108 divise $(53+y)$ et 55 divise $(27-x)$ :
\[
\begin{cases}
27-x & = 55k\\
53+y & = 108k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z
\]
soit :
\[
\boxed{
\begin{cases}
x & = 27-55k\\
y & = -53+108k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z}
\]
\end{enumerate}
