
Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
3^{n+p}-3^{n+1} \text{ est divisible par }p & \iff
3^{n+p}-3^{n+1}\equiv0\mod p\\[6pt]
& \iff 3^{n+p}\equiv3^{n+1}\mod p\\[6pt]
& \iff 3^n\times 3^p  \equiv 3^n\times 3\mod p\\[6pt]
& \iff 3^p\equiv3\mod p\qquad\text{car }p\neq3.
\end{align*}

Cette dernière congruence est vraie d'après le petit théorème de Fermat (car $p$ est premier et $p$ ne divise pas 3).

\medskip

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $3^{n+p}-3^{n+1}$ est divisible par $p$.
