
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un entier premier avec $n=p_1p_2\cdots p_k$.

Pour tout $1\leqslant i\leqslant k$, $p_i$ ne divise par $a$ donc d'après le petit théorème de Fermat,
\[
a^{p_i-1} \equiv 1 \mod p_i.
\]
Or, par hypothèse, $p_i-1$ divise $n-1$ donc:
\[
a^{n-1} \equiv a^{q_i(p_i-1)} \equiv \big(a^{p_i-1}\big)^{q_i}\equiv 1^{q_i}\equiv 1\mod p_i.
\]
Ainsi, $p_i$ divise $a^{n-1}-1$.

Les $p_i$ étant premiers entre eux, $n=p_1p_2\cdots p_k$ divise $a^{n-1}-1$ et donc\linebreak $a^{n-1}\equiv1\mod n$.

$n$ est donc un nombre de Carmichael.

\item $561=3\times11\times17$.

\begin{itemize}
\item $3-1$ divise $561-1=560$;
\item $11-1=10$ divise $561-1=560$;
\item $17-1=16$ divise 560.
\end{itemize}

Ainsi, 561 est bien un nombre de Carmichael.
\end{enumerate}
