
\begin{enumerate}
\item $A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[6pt]
\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}$.

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $U_1=AU_0$ par définition de $A$ donc l'initialisation est réalisée.

\item \textbf{Hérédité:} on suppose que pour un entier naturel $k$ fixé, $U_{k}=A^kU_0$.

Alors, $U_{k+1}=AU_k=A\times A^kU_0=A^{k+1}U_0$.

L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^nU_0$.
\end{itemize}

\item À la calculatrice (par exemple), on vérifie que $PQ=QP=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ donc $P$ et $Q$ sont inverses l'une de l'autre.

\item Si $A=QDP=P^{-1}DP$, alors $PA=PP^{-1}DP=DP$ et $PAP^{-1}=DPP^{-1}=D$.

On trouve alors $D=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}$.

\item On en déduit que $A^n=(QDP)^n=QD^nP$ et donc $U_n=A^nU_0=QD^nPU_0$.

En effectuant le calcul, on trouve ce qui est demandé.

\item On trouve alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\limite{n}{+\infty}{v_n}=\dfrac{3}{5}$.
\end{enumerate}
