
\begin{enumerate}
\item Posons $C=\dbinom{x}{y}$.
\begin{align*}
C=AC+B & \iff \dbinom{x}{y}=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\dbinom{x}{y}+\dbinom{1}{-1}\\
& \iff \left\{\begin{array}{l}
x=2x-3y+1\\
y=-x-2y-1
\end{array}\right.
\\
& \iff \left\{ \begin{array}{l}
x-3y=-1\\
-x-3y=1
\end{array} \right.\\
& \iff x=-1,\ y=0
\end{align*}
Ainsi, $\boxed{C=\dbinom{-1}{0}}$

\item On a : $\left\{ \begin{array}{l@{~=~}l}
U_{n+1} & AU_n+B\\
C & AC+B
\end{array}\right.$ donc, par soustraction, on a :
\[
U_{n+1}-C=AU_n-AC \quad \text{soit} \quad U_{n+1}-C=A(U_n-C)\quad \text{soit}\quad \boxed{X_{n+1}=AX_n}
\]

\item D'après la question précédente, la suite \suite{X}{n}{n\geqslant0} est géométrique de raison $A$ et de premier terme $X_0=U_0-C=\dbinom{1}{1}-\dbinom{-1}{0}=\dbinom{2}{1}$.

Ainsi, $X_n=AX_{n-1}=A^2X_{n-2}=\cdots=A^nX_0$.

\item $PDP^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[6pt]-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}=A$ (avec la calculatrice).

\begin{itemize}
\item Initialisation : $A^1=PD^1P^{-1}$, évident.
\item Hérédité : supposons qu'à un certain rang $k$, $A^k=PD^kP^{-1}$.

Alors, $A^{k+1}=A^kA=PD^k\underbrace{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^{k+1}P^{-1}$.

L'hérédité est alors vérifiée. L'égalité est donc vraie pour tout entier $n\geqslant1$. Pour $n=0$, l'égalité est évidente : $A^0=I=PP^{-1}$.
\end{itemize}

Notons que $D^n=\begin{pmatrix}1^n&0\\0&(-1)^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&(-1)^n\end{pmatrix}$.

\item On sait que $X_n=A^nX_0$ donc :
\begin{align*}
X_n & =
\begin{pmatrix}3&1\\-1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&(-1)^n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[6pt]-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{pmatrix}\dbinom{2}{1} \\
& = \begin{pmatrix}3&1\\-1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[6pt]\frac{(-1)^{n+1}}{2} & \frac{3(-1)^{n+1}}{2}\end{pmatrix}\dbinom{2}{1}\\
& = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}+\frac{(-1)^{n+1}}{2} & \frac{3}{2}+\frac{3(-1)^{n+1}}{2}\\[6pt] -\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2} & -\frac{1}{2}+\frac{3(-1)^n}{2}\end{pmatrix}\dbinom{2}{1}\\
& = \begin{pmatrix}\frac{9}{2}+\frac{5(-1)^{n+1}}{2}\\[6pt]-\frac{3}{2}+\frac{5(-1)^n}{2}\end{pmatrix}
\end{align*}
Ainsi,
\[
U_n=X_n+C=\begin{pmatrix}\frac{9}{2}+\frac{5(-1)^{n+1}}{2}\\[6pt]-\frac{3}{2}+\frac{5(-1)^n}{2}\end{pmatrix}+\dbinom{-1}{0}
\]
soit
\[
\boxed{U_n=\begin{pmatrix}\frac{7}{2}+\frac{5(-1)^{n+1}}{2}\\[6pt]-\frac{3}{2}+\frac{5(-1)^n}{2}\end{pmatrix}}
\]
Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[
\boxed{u_n=\dfrac{7}{2}+\dfrac{5(-1)^{n+1}}{2}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{v_n=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5(-1)^n}{2}}
\]
\end{enumerate}
