
\begin{enumerate}
\item On a: $A=\begin{pmatrix}1 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$. En effet,
\[
\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}.
\]

\item On a:
\begin{itemize}
\item $A^2=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$;
\item $A^3=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2$.
\end{itemize}
On peut alors en déduire que $(-A^2)A = I_2$ et $A(-A^2)=I_2$ donc l'inverse de $A$ est:
\[
A^{-1}=-A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}.
\]
\item De la question précédente, on peut déduire que:
\begin{itemize}
\item $A^4=A\times A^3 = A \times(-I_2) = -A$;
\item $A^5 = A^4\times A = -A\times A = -A^2$;
\item $A^6 = A^5\times A = -A^2\times A = -A^3 = -(-I_2) = I_2$.
\end{itemize}
On en déduit alors que, pour tout entier naturel $k$,
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $A^{6k}=I_2$;
\item $A^{6k+1} = A$;
\item $A^{6k+2} = A^2$;
\item $A^{6k+3} = A^3=-I_2$;
\item $A^{6k+4} = -A$;
\item $A^{6k+5} = -A^2$.
\end{multicols}
\end{itemize}
%Autrement écrit:
%\begin{itemize}
%\item Si $n\equiv 0\mod 6$, $A^n=I_2$;
%\item Si $n\equiv 1\mod 6$, $A^n=A$;
%\item Si $n\equiv 2\mod 6$, $A^n=A^2$;
%\item Si $n\equiv 3\mod 6$, $A^n=-I_2$;
%\item Si $n\equiv 4\mod 6$, $A^n=-A$;
%\item Si $n\equiv 5\mod 6$, $A^n=-A^2$.
%\end{itemize}
Or, $U_{n+1} = AU_{n}$ donc $U_n = A^n U_0$.
\begin{itemize}
\item Si $n\equiv 0\mod 6$, $U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{1}{3}$;
%\item Si $n\equiv 1\mod 6$,$U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{-2}{1}$;
\item Si $n\equiv 2\mod 6$, $U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{-3}{-2}$;
%\item Si $n\equiv 3\mod 6$, $U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{-1}{-3}$;
\item Si $n\equiv 4\mod 6$, $U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{2}{-1}$;
%\item Si $n\equiv 5\mod 6$, $U_n=\dbinom{u_{n+1}}{u_n}=\dbinom{3}{2}$.
\end{itemize}
D'où:
\[
u_{6k}=1,\ u_{6k+1}=3,\ u_{6k+2}=-2,\ u_{6k+3}=-3,\ u_{6k+4}=-1,\ u_{6k+5}=2.\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
On dit qu'une telle suite est \textit{périodique} de période 6, c'est-à-dire que:
\[
\forall n\in\N,\ u_{n+6}=u_n.
\]
\end{rem}
