
\begin{enumerate}
\item On obtient:
\[
A^2 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\qquad,\qquad
A^3 = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 6\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

\bigskip

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} l'égalité est vraie pour $n=1$.

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ fixé,
\[
A^k = \begin{pmatrix}
1 & k & \frac{k(k+1)}{2}\\
0 & 1 & k\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Alors,
\begin{align*}
A^{k+1} & = \begin{pmatrix}
1 & k & \frac{k(k+1)}{2}\\
0 & 1 & k\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
1 & 1+k & 1+k+\frac{k(k+1)}{2}\\
0 & 1 & 1+k\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
1 & 1+k & (k+1)\left[1+\frac{k}{2}\right]\\
0 & 1 & 1+k\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
1 & 1+k & \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\
0 & 1 & k+1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
L'égalité est donc vraie pour tout entier naturel $n$.

\bigskip

\item Si $n=-1$, l'égalité précédente devient:
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Or,
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=I_3.
\]

\bigskip

Ainsi, $A^{-1}$ désigne bien l'inverse de $A$.
\end{enumerate}
